Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(d)

Passo 1

Vamos ver o que pede a questão: temos que mostrar que a sequência é limitada e monótona. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e ser monótona. Além disso, vamos usar conceitos de análise de sequências para identificar essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe algum número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os termos da sequência.

Passo 3

Observando , podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por :
Como aumenta, diminui e tende a zero. Portanto, tende a . Isso indica que a sequência está próxima de 1 para grandes valores de .

Passo 4

Agora, vamos ver se há um limite inferior. Note que para todo :
Então, a sequência está acima de 0. Portanto, a sequência é limitada, já que está entre 0 e 1.

Passo 5

Em seguida, vamos verificar se a sequência é monótona. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, e decrescente se cada termo é menor que o anterior.

Passo 6

Calculemos a diferença entre termos consecutivos:
Simplificando:
Como o numerador é positivo e o denominador também, a diferença é positiva. Isso significa que , então a sequência é crescente.

Resposta

A sequência é limitada entre 0 e 1 e é monótona crescente.

Exercícios relacionados

Considere a função definida por . Usando o exercício anterior encontre para . (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)
Determine: (*Sugestão para o item (25): fazer )
Considere a sequência
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.