Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos ver o que pede a questão: temos que mostrar que a sequência
é limitada e monótona. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência ser limitada e ser monótona. Além disso, vamos usar conceitos de análise de sequências para identificar essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe algum número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os termos da sequência.
Passo 3
Observando
, podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por
:
Como
aumenta,
diminui e tende a zero. Portanto,
tende a
. Isso indica que a sequência está próxima de 1 para grandes valores de
.
Passo 4
Agora, vamos ver se há um limite inferior. Note que para todo
:
Então, a sequência está acima de 0. Portanto, a sequência é limitada, já que está entre 0 e 1.
Passo 5
Em seguida, vamos verificar se a sequência é monótona. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, e decrescente se cada termo é menor que o anterior.
Passo 6
Calculemos a diferença entre termos consecutivos:
Simplificando:
Como o numerador é positivo e o denominador também, a diferença é positiva. Isso significa que
, então a sequência é crescente.
Resposta
A sequência
é limitada entre 0 e 1 e é monótona crescente.
Exercícios relacionados
Considere a função definida por
. Usando o exercício anterior encontre
para
. (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)
(b)
Determine:
(*Sugestão para o item (25): fazer
)
Considere a sequência
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.