Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência e precisamos mostrar que ela é limitada e monótona. Isso envolve saber o que significa uma sequência ser limitada e também entender os diferentes tipos de monotonicidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e propriedades de limites.

Passo 2

Mostrando que a sequência é limitada:
Uma sequência é dita limitada se existe um número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos. Vamos analisar os termos de .
Sabemos que cresce à medida que aumenta. Portanto, diminui e se aproxima de 0. Isso significa que:
Então, somando 1 aos dois lados da desigualdade:
Portanto, todos os termos de estão entre 1 e 2. Assim, a sequência é limitada inferiormente por 1 e superiormente por 2.

Passo 3

Mostrando que a sequência é monótona:
Uma sequência é monótona se é sempre crescente ou sempre decrescente. Vamos ver como se comporta conforme aumenta.
Vamos calcular os termos para alguns valores de :
Observamos que à medida que aumenta, diminui, fazendo com que também diminua. Portanto, a sequência é monótona decrescente.

Resposta

A sequência é limitada entre 1 e 2 e é monótona decrescente.

Exercícios relacionados

Determine:
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. .
Considere a função definida por . Usando o exercício anterior encontre para . (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(d)