Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência
e precisamos mostrar que ela é limitada e monótona. Isso envolve saber o que significa uma sequência ser limitada e também entender os diferentes tipos de monotonicidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de sequências e propriedades de limites.
Passo 2
Mostrando que a sequência é limitada:
Uma sequência é dita limitada se existe um número que serve como limite superior e outro como limite inferior para todos os seus termos. Vamos analisar os termos de
.
Sabemos que
cresce à medida que
aumenta. Portanto,
diminui e se aproxima de 0. Isso significa que:
Então, somando 1 aos dois lados da desigualdade:
Portanto, todos os termos de
estão entre 1 e 2. Assim, a sequência é limitada inferiormente por 1 e superiormente por 2.
Passo 3
Mostrando que a sequência é monótona:
Uma sequência é monótona se é sempre crescente ou sempre decrescente. Vamos ver como
se comporta conforme
aumenta.
Vamos calcular os termos para alguns valores de
:
Observamos que à medida que
aumenta,
diminui, fazendo com que
também diminua. Portanto, a sequência é monótona decrescente.
Resposta
A sequência
é limitada entre 1 e 2 e é monótona decrescente.
Exercícios relacionados
Determine:
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
.
Considere a função definida por
. Usando o exercício anterior encontre
para
. (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(d)
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