Considere a função definida por
é derivável no valor de
encontrado na parte (a)?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: f é derivável no valor de
encontrado na parte (a)?
Para responder isso, precisamos entender dois conceitos principais:
- Continuidade: A função precisa ser contínua no ponto
. - Derivabilidade: As derivadas laterais à esquerda e à direita de
devem ser iguais.
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Então, igualamos as duas expressões de
em
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos verificar a derivabilidade em
.
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, avaliamos as derivadas à esquerda e à direita de
.
Derivada à esquerda (
):
Derivada à direita (
):
Passo 7
Com as derivadas laterais iguais (
) e a função sendo contínua em
, concluímos que a função
é derivável no ponto
.
Resposta
Sim, a função
é derivável no valor
.