Considere a função definida por
f(x) = { 1/x se 0 < x < b, 1 - 1/4 x se b <= x }
f é derivável no valor de b encontrado na parte (a)?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = { 1/x se 0 < x < b, 1 - 1/4 x se b <= x }
A pergunta é: f é derivável no valor de encontrado na parte (a)?
Para responder isso, precisamos entender dois conceitos principais:
  1. Continuidade: A função precisa ser contínua no ponto .
  2. Derivabilidade: As derivadas laterais à esquerda e à direita de devem ser iguais.
Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Então, igualamos as duas expressões de em :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, .

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos verificar a derivabilidade em .
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função.
Para :
Para :

Passo 6

Agora, avaliamos as derivadas à esquerda e à direita de .
Derivada à esquerda ( ):
Derivada à direita ( ):

Passo 7

Com as derivadas laterais iguais ( ) e a função sendo contínua em , concluímos que a função é derivável no ponto .

Resposta

Sim, a função é derivável no valor .

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