Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: f é derivável no valor de encontrado na parte (a)?
Para responder isso, precisamos entender dois conceitos principais:
Continuidade: A função precisa ser contínua no ponto .
Derivabilidade: As derivadas laterais à esquerda e à direita de devem ser iguais.
Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em .
Então, igualamos as duas expressões de em :
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, .
Passo 5
Agora que sabemos que , vamos verificar a derivabilidade em .
Primeiro, calculamos as derivadas de cada parte da função.
Para :
Para :
Passo 6
Agora, avaliamos as derivadas à esquerda e à direita de .
Derivada à esquerda ():
Derivada à direita ():
Passo 7
Com as derivadas laterais iguais () e a função sendo contínua em , concluímos que a função é derivável no ponto .