Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no exercício que você me passou. A gente precisa estudar os máximos e mínimos da função . Isso significa que vamos descobrir onde essa função atinge seus valores mais altos e mais baixos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar essas pontas na curva da função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função: . Essa é uma função que envolve uma raiz quadrada. Antes de procurar os máximos e mínimos, é bom saber o domínio dela, ou seja, para que valores de a função está definida. Como a expressão dentro da raiz quadrada, , é sempre positiva (porque é positivo para qualquer , e adicionando 4 continua positivo), nossa função está definida para todos os números reais.
Passo 3
Agora, para encontrar os máximos e mínimos, precisamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, e onde essa taxa muda de positiva para negativa ou vice-versa, encontramos possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é , que pode ser escrita como .
Vamos derivar usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora que temos a derivada , vamos encontrar onde ela é igual a zero ou onde não está definida, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
O numerador precisa ser zero para que a fração seja zero, então:
A derivada está definida para todos os , então o único ponto crítico é .
Passo 5
Agora, precisamos determinar se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o comportamento da derivada ao redor desse ponto.
Vamos usar a segunda derivada. Primeiro, vamos derivar :
Usando a regra do quociente e simplificando:
No ponto :
Como a segunda derivada é positiva, isso significa que a função tem um mínimo naquele ponto.