Considere a função definida por f(x) = { 1/x se 0 < x < b, 1 - 1/4 x se b <= x } Determine um valor de b de tal forma que f seja contínua em b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um valor de que faça a função ser contínua em . A função está definida por duas expressões diferentes, dependendo do valor de em relação a . Então, vamos precisar entender de continuidade de funções e como garantir que não tenha “saltos” na função nesse ponto específico.

Passo 2

Para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em . Em termos matemáticos:

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de pela esquerda ( ). Nessa região, . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função em . Para , a função é . Portanto:

Passo 5

Para garantir a continuidade, igualamos o limite pela esquerda ao valor da função em :

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação quadrática. Podemos resolver pelo discriminante:
Como , há uma única solução:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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