Considere a função definida por
Determine um valor de
de tal forma que
seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um valor de
que faça a função
ser contínua em
. A função
está definida por duas expressões diferentes, dependendo do valor de
em relação a
. Então, vamos precisar entender de continuidade de funções e como garantir que não tenha “saltos” na função nesse ponto específico.
Passo 2
Para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de
pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
. Em termos matemáticos:
Passo 3
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de
pela esquerda (
). Nessa região,
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da função em
. Para
, a função é
. Portanto:
Passo 5
Para garantir a continuidade, igualamos o limite pela esquerda ao valor da função em
:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação quadrática. Podemos resolver pelo discriminante:
Como
, há uma única solução:
Resposta
O valor de
que torna a função
contínua em
é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique se:
é derivável em
.
Seja
. Determine a função
e o seu domínio.
Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada.
Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada.