Seja
. Verifique se:
é derivável em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que muda de expressão dependendo do valor de
. A pergunta é para verificar se essa função é derivável em
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade e derivadas laterais, que são ferramentas que nos ajudam a saber se a função tem uma “suavidade” nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos ver se a função é contínua em
. Isso significa que o valor que a função atinge quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor quando se aproxima pela direita e também igual ao valor exatamente em
.
Para
, a função é
. Assim, quando
:
Para
, a função é
. Então, quando
se aproxima de 1 pela esquerda:
Como
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada pela direita em
. Como para
,
, a derivada dessa parte é:
Então, pela direita:
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada pela esquerda em
. Para
,
, e a derivada dessa parte é:
Então, pela esquerda:
Passo 5
Finalmente, comparamos as derivadas laterais. Se elas forem iguais, a função é derivável em
.
Aqui, temos:
Como as derivadas pela direita e pela esquerda são iguais, a função é derivável em
.
Resposta
Sim,
é derivável em
.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine a função
e o seu domínio.
Seja
. Verifique se:
é contínua em
.
Considere a função definida por
Determine um valor de
de tal forma que
seja contínua em
.
Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada.