Seja . Verifique se: é derivável em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que muda de expressão dependendo do valor de . A pergunta é para verificar se essa função é derivável em . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade e derivadas laterais, que são ferramentas que nos ajudam a saber se a função tem uma “suavidade” nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos ver se a função é contínua em . Isso significa que o valor que a função atinge quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor quando se aproxima pela direita e também igual ao valor exatamente em .
Para , a função é . Assim, quando :
Para , a função é . Então, quando se aproxima de 1 pela esquerda:
Como , a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada pela direita em . Como para , , a derivada dessa parte é:
Então, pela direita:

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada pela esquerda em . Para , , e a derivada dessa parte é:
Então, pela esquerda:

Passo 5

Finalmente, comparamos as derivadas laterais. Se elas forem iguais, a função é derivável em .
Aqui, temos:
Como as derivadas pela direita e pela esquerda são iguais, a função é derivável em .

Resposta

Sim, é derivável em .

Exercícios relacionados

Seja . Determine a função e o seu domínio.
Seja . Verifique se: é contínua em .
Considere a função definida por Determine um valor de de tal forma que seja contínua em .
Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada.