Seja f(x) = {-1 - x^2 se x <= 0; x^2 + 1 se x > 0}. Determine a função f' e o seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada dessa função, que chamamos de , e também determinar para quais valores de x essa derivada existe, ou seja, o domínio de . Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções polinomiais e como derivar funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada parte da função f(x) separadamente e derivar cada uma delas. Lembre-se que a derivada de em relação a x é .
Para x <= 0, temos:
A derivada dessa parte é:

Passo 3

Agora, para , a função é:
Derivando essa parte, temos:

Passo 4

Até aqui, encontramos que:
  • Para x <= 0,
  • Para ,
Mas precisamos verificar se a derivada existe em x = 0, porque a função muda de definição nesse ponto. Para isso, vamos calcular os limites das derivadas pelas duas direções próximas a 0.

Passo 5

Calculando o limite à esquerda de 0:
Calculando o limite à direita de 0:
Como os limites são iguais, a derivada em x = 0 também é 0.

Passo 6

Agora, juntando tudo, a função derivada fica:
E o domínio de é todo número real, já que a derivada existe para qualquer x.

Resposta

A derivada da função é
e o domínio de é R (todos os números reais).

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