Seja
. Determine a função
e o seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada dessa função, que chamamos de
, e também determinar para quais valores de
essa derivada existe, ou seja, o domínio de
. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções polinomiais e como derivar funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar cada parte da função
separadamente e derivar cada uma delas. Lembre-se que a derivada de
em relação a
é
.
Para
, temos:
A derivada dessa parte é:
Passo 3
Agora, para
, a função é:
Derivando essa parte, temos:
Passo 4
Até aqui, encontramos que:
- Para
, - Para
,
Mas precisamos verificar se a derivada existe em
, porque a função muda de definição nesse ponto. Para isso, vamos calcular os limites das derivadas pelas duas direções próximas a 0.
Passo 5
Calculando o limite à esquerda de 0:
Calculando o limite à direita de 0:
Como os limites são iguais, a derivada em
também é 0.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a função derivada
fica:
E o domínio de
é todo número real, já que a derivada existe para qualquer
.
Resposta
A derivada da função é
e o domínio de
é
(todos os números reais).
Exercícios relacionados
Seja
. Verifique se:
é contínua em
.
Se
e
, determine
usando a derivada da função inversa.
Seja
. Verifique se:
é derivável em
.
Considere a função definida por
Determine um valor de
de tal forma que
seja contínua em
.