Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada. f(x) = x^2 / (x + 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função usando a definição de derivada. A gente vai precisar lembrar como funciona essa definição e aplicar passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da diferença entre e , dividida por , quando tende a zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular . Substituindo por na função original:

Passo 4

Em seguida, vamos montar a expressão :
Para subtrair essas frações, precisamos ter um denominador comum. O denominador comum é .

Passo 5

Vamos reescrever as frações com o denominador comum:
Agora, vamos expandir o numerador:
Subtraindo, temos:

Passo 6

Então, a expressão da derivada fica:
Podemos fatorar no numerador:
Cancelando o que está no numerador e denominador:

Passo 7

Agora, podemos substituir na expressão restante:

Resposta

A derivada da função é:

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