Determine a derivada de cada função a seguir, utilizando a definição de derivada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função
usando a definição de derivada. A gente vai precisar lembrar como funciona essa definição e aplicar passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite da diferença entre
e
, dividida por
, quando
tende a zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituindo
por
na função original:
Passo 4
Em seguida, vamos montar a expressão
:
Para subtrair essas frações, precisamos ter um denominador comum. O denominador comum é
.
Passo 5
Vamos reescrever as frações com o denominador comum:
Agora, vamos expandir o numerador:
Subtraindo, temos:
Passo 6
Então, a expressão da derivada fica:
Podemos fatorar
no numerador:
Cancelando o
que está no numerador e denominador:
Passo 7
Agora, podemos substituir
na expressão restante:
Resposta
A derivada da função
é: