Encontrar as derivada laterais no ponto x_0 indicado, caso existam, das funções dadas a seguir: f(x) = { x^2 - 4, se x < 2; raiz(x - 2), se x ≥ 2; x0 = 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as derivadas laterais no ponto da função dada. A função é definida de dois jeitos diferentes: para , ela é , e para , ela é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas laterais e como calcular cada uma delas usando derivadas de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada lateral pela esquerda ( ) é a derivada da função considerando valores de próximos de vindos pela esquerda, ou seja, . A função nessa região é .
Vamos derivar essa parte:
Agora, avaliamos essa derivada em :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada lateral pela direita ( ), que considera valores de próximos de vindos pela direita, ou seja, . A função nessa região é .
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Agora, derivamos:
Vamos tentar avaliar em :
Aqui, vemos que estamos dividindo por zero, o que significa que a derivada lateral pela direita não existe no ponto .

Resposta

As derivadas laterais no ponto são:
  • Derivada pela esquerda:
  • Derivada pela direita: não existe.

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