Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as derivadas laterais no ponto
da função dada. A função é definida de dois jeitos diferentes: para
, ela é
, e para
, ela é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas laterais e como calcular cada uma delas usando derivadas de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada lateral pela esquerda (
) é a derivada da função considerando valores de
próximos de
vindos pela esquerda, ou seja,
. A função nessa região é
.
Vamos derivar essa parte:
Agora, avaliamos essa derivada em
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada lateral pela direita (
), que considera valores de
próximos de
vindos pela direita, ou seja,
. A função nessa região é
.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Agora, derivamos:
Vamos tentar avaliar em
:
Aqui, vemos que estamos dividindo por zero, o que significa que a derivada lateral pela direita não existe no ponto
.
Resposta
As derivadas laterais no ponto
são:
- Derivada pela esquerda:
- Derivada pela direita: não existe.
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Encontrar as derivada laterais no ponto
indicado, caso existam, das funções dadas a seguir:
Determine
, a derivada da função
em
, em cada item abaixo e nos pontos
indicados:
Seja
a função dada por
. Verifique se
é contínua em
Considere a função definida por
é derivável no valor de
encontrado na parte (a)?