Considere a função definida por:
© Determine o (s) ponto (s) em que a função definida acima é descontínua, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Precisamos descobrir em quais pontos essa função não é contínua, ou seja, onde acontece uma “quebra” no gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função:
Observa que a função muda de expressão em e . Esses são os pontos potenciais onde pode ter descontinuidade.

Passo 3

Vamos analisar cada ponto separado:
Em :
  • Limite pela esquerda ( ):
    Para , . Quando se aproxima de 0 pela esquerda, temos:
  • Limite pela direita ( ):
    Para , . Quando se aproxima de 0 pela direita, temos:
  • Valor da função em :
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), a função tem uma descontinuidade em .
Em :
  • Limite pela esquerda ( ):
    Para , . Quando se aproxima de 2 pela esquerda, temos:
  • Limite pela direita ( ):
    Para , . Quando se aproxima de 2 pela direita, temos:
  • Valor da função em :
Aqui também, os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), indicando uma descontinuidade em .

Resposta

A função é descontínua nos pontos e .

Exercícios relacionados

Considere a função definida por:
(a) Esboce o gráfico da função :
De acordo com a teoria da relatividade, a massa de uma partícula com uma velocidade é: em que é a massa da partícula em repouso e é a velocidade da luz no vácuo (ambas constantes).
(a) Determine o domínio de f .
Considere a função definida por:
(b) Calcule: (a) ,
(b) , ©
(d) ,
(e) ,
(f) ,
(g) ,
(h)
De acordo com a teoria da relatividade, a massa de uma partícula com uma velocidade é: em que é a massa da partícula em repouso e é a velocidade da luz no vácuo (ambas constantes).
(b) Determine, caso existam, as assíntotas da curva , justificando sua resposta: