Considere a função definida por:
(a) Esboce o gráfico da função :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar o gráfico da função que é definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de . Vamos precisar entender cada parte da função e como elas se comportam no gráfico. Vamos usar conhecimentos de funções por partes e gráficos básicos como o da função quadrática e valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente:
Para :
Esse termo é igual ao valor absoluto de , ou seja, . Isso significa que:
Se (ou seja, ), então .
Se (ou seja, ), então .
Para :
Essa é uma parábola padrão voltada para cima.
Para :
Aqui, a função é constante, igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada parte:
Para :
Isso é uma reta com coeficiente angular -1 e intercepto -2.
Para :
Essa é uma reta com coeficiente angular 1 e intercepto 2.
Para :
É uma parábola que passa pela origem.
Para :
É uma linha horizontal no nível 1.
Passo 4
Vamos identificar os pontos chave para cada intervalo:
Em :
Usando :
Usando :
Portanto, o ponto é comum aos dois trechos.
Em :
Usando :
Usando :
Neste caso, há uma descontinuidade, já que os valores não coincidem.
Em :
Usando :
Usando :
Outra descontinuidade ocorre aqui.
Passo 5
Com essas informações, vamos esboçar o gráfico:
Para : Uma reta decrescente passando por .
Para : Uma reta crescente começando em até .
Para : Uma parábola começando em (independente da descontinuidade) até .
Para : Uma linha horizontal no nível começando em .
Resposta
O gráfico da função é formado por duas retas, uma parábola e uma linha horizontal, com descontinuidades em e . Visualmente, se conecta da seguinte forma:
Para : Reta decrescente passando por .
Para : Reta crescente de a .
Para : Parábola de a .
Para : Linha horizontal no nível a partir de .
Isso resulta em um gráfico que combina esses pedaços de forma contínua nas respectivas regiões.