Considere a função definida por: f(x) = { raiz((x + 2)^2) se x < 0, x^2 se 0 <= x < 2, 1 se x >= 2 }
(a) Esboce o gráfico da função f :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar o gráfico da função que é definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de . Vamos precisar entender cada parte da função e como elas se comportam no gráfico. Vamos usar conhecimentos de funções por partes e gráficos básicos como o da função quadrática e valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da função separadamente:
  1. Para :
    Esse termo é igual ao valor absoluto de , ou seja, . Isso significa que:
    • Se (ou seja, ), então .
    • Se (ou seja, ), então .
  2. Para :
    Essa é uma parábola padrão voltada para cima.
  3. Para :
    Aqui, a função é constante, igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada parte:
  1. Para :
    Isso é uma reta com coeficiente angular -1 e intercepto -2.
  2. Para :
    Essa é uma reta com coeficiente angular 1 e intercepto 2.
  3. Para :
    É uma parábola que passa pela origem.
  4. Para :
    É uma linha horizontal no nível 1.

Passo 4

Vamos identificar os pontos chave para cada intervalo:
  1. Em :
    • Usando :
    • Usando :
    Portanto, o ponto é comum aos dois trechos.
  2. Em :
    • Usando :
    • Usando :
    Neste caso, há uma descontinuidade, já que os valores não coincidem.
  3. Em :
    • Usando :
    • Usando :
    Outra descontinuidade ocorre aqui.

Passo 5

Com essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Para : Uma reta decrescente passando por .
  2. Para : Uma reta crescente começando em até .
  3. Para : Uma parábola começando em (independente da descontinuidade) até .
  4. Para : Uma linha horizontal no nível começando em .

Resposta

O gráfico da função é formado por duas retas, uma parábola e uma linha horizontal, com descontinuidades em e . Visualmente, se conecta da seguinte forma:
  • Para : Reta decrescente passando por .
  • Para : Reta crescente de a .
  • Para : Parábola de a .
  • Para : Linha horizontal no nível a partir de .
Isso resulta em um gráfico que combina esses pedaços de forma contínua nas respectivas regiões.

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