Considere a função y = f(x) definida por: y = { 4 x se 0 <= x <= 2, -x^2 + 6 x se 2 < x <= 6 }. Para que valores de x temos f(x) = 5?

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função que é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . A questão é descobrir para quais valores de essa função dá . Vamos usar conceitos de funções por partes e resolver equações simples para encontrar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função: quando . Queremos saber para qual valor de essa expressão é igual a 5. Então, montamos a equação:

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação para . Dividindo ambos os lados por 4:
Como está entre 0 e 2, esse valor é válido dentro do intervalo definido.

Passo 4

Vamos pra segunda parte da função: quando . Novamente, queremos que , então montamos a equação:

Passo 5

Resolvendo essa equação quadrática, primeiro rearranjamos:
Multiplicando tudo por -1 para facilitar:
Agora, fatoramos:
Então, as soluções são e . Mas precisamos verificar se estão dentro do intervalo . O valor não está nesse intervalo, então descartamos. O está dentro, então é válido.

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

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