Construa o gráfico das funções de uma variável real definidas a seguir: f(x) = |x - 1| - |x|

Passo 1

Então, vamos nessa! A gente tem que construir o gráfico da função . Isso envolve entender como funcionam os valores absolutos e como eles afetam o gráfico da função. Vamos precisar analisar onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal para poder desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos, ou seja, e , são iguais a zero. Isso acontece quando:

  • Esses pontos, e , são chamados de pontos críticos e vão dividir a reta real em intervalos onde a função se comporta de maneira diferente.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função em cada um desses intervalos separados pelos pontos críticos:
  1. Para :
    • então
    • então
    • Portanto,
  2. Para :
    • então
    • então
    • Portanto,
  3. Para :
    • então
    • então
    • Portanto,

Passo 4

Agora que temos definida em cada intervalo, podemos resumir:
  • Para : (uma linha horizontal)
  • Para : (uma reta decrescente)
  • Para : (outra linha horizontal)

Passo 5

Por fim, vamos juntar tudo para desenhar o gráfico:
  • De até , a função é constante e igual a 1.
  • De até , a função é uma reta que desce de até .
  • De em diante, a função é constante e igual a -1.

Resposta

O gráfico de consiste em uma linha horizontal em para , uma reta decrescente de a no intervalo , e uma linha horizontal em para .

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