Construa o gráfico das funções de uma variável real definidas a seguir:
Passo 1
Então, vamos nessa! A gente tem que construir o gráfico da função
. Isso envolve entender como funcionam os valores absolutos e como eles afetam o gráfico da função. Vamos precisar analisar onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal para poder desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos, ou seja,
e
, são iguais a zero. Isso acontece quando:
-
⟹ -
Esses pontos,e , são chamados de pontos críticos e vão dividir a reta real em intervalos onde a função se comporta de maneira diferente.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
em cada um desses intervalos separados pelos pontos críticos:
-
Para
: -
então -
então - Portanto,
-
-
Para
: -
então -
então - Portanto,
-
-
Para
: -
então -
então - Portanto,
-
Passo 4
Agora que temos
definida em cada intervalo, podemos resumir:
- Para
: (uma linha horizontal) - Para
: (uma reta decrescente) - Para
: (outra linha horizontal)
Passo 5
Por fim, vamos juntar tudo para desenhar o gráfico:
- De
até , a função é constante e igual a 1. - De
até , a função é uma reta que desce de até . - De
em diante, a função é constante e igual a -1.
Resposta
O gráfico de
consiste em uma linha horizontal em
para
, uma reta decrescente de
a
no intervalo
, e uma linha horizontal em
para
.