Construa o gráfico das funções de uma variável real definidas a seguir:
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o objetivo da questão. Precisamos construir o gráfico da função
. Isso envolve trabalhar com funções de uma variável real e entender como o valor absoluto influencia o comportamento da função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades do valor absoluto e como ele afeta a forma da função.
Passo 2
Vamos começar analisando a função
. O valor absoluto de
, representado por
, sempre retorna um valor não negativo:
- Se
for positivo ou zero, . - Se
for negativo, .
Passo 3
Com isso em mente, podemos dividir a análise da função em dois casos: quando
é maior ou igual a zero, e quando
é menor que zero.
Passo 4
Caso 1: Quando
Nesse caso, como
é positivo ou zero, temos
. Substituindo na função:
Isso nos dá uma parábola que se abre para baixo.
Passo 5
Caso 2: Quando
Aqui,
é negativo, então
. Substituindo na função:
Neste caso, obtemos uma parábola que se abre para cima.
Passo 6
Agora que temos as duas expressões para a função em cada intervalo, podemos esboçar o gráfico:
- Para
, a função é (parábola voltada para baixo). - Para
, a função é (parábola voltada para cima).
Passo 7
Vamos identificar alguns pontos importantes para cada parte da função:
-
Para
: -
-
Para
: -
Resposta
O gráfico da função
é formado por duas parábolas:
- Para
, é a parábola , que se abre para baixo. - Para
, é a parábola , que se abre para cima.
As duas parábolas se encontram no ponto
. Assim, o gráfico possui simetria em relação à origem e forma um “V” invertido no ponto de interseção.