Construa o gráfico das funções de uma variável real definidas a seguir: g(x) = -x * |x|

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o objetivo da questão. Precisamos construir o gráfico da função . Isso envolve trabalhar com funções de uma variável real e entender como o valor absoluto influencia o comportamento da função. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades do valor absoluto e como ele afeta a forma da função.

Passo 2

Vamos começar analisando a função . O valor absoluto de x, representado por |x|, sempre retorna um valor não negativo:
  • Se x for positivo ou zero, .
  • Se x for negativo, .

Passo 3

Com isso em mente, podemos dividir a análise da função em dois casos: quando x é maior ou igual a zero, e quando x é menor que zero.

Passo 4

Caso 1: Quando x >= 0
Nesse caso, como x é positivo ou zero, temos . Substituindo na função:
Isso nos dá uma parábola que se abre para baixo.

Passo 5

Caso 2: Quando
Aqui, x é negativo, então . Substituindo na função:
Neste caso, obtemos uma parábola que se abre para cima.

Passo 6

Agora que temos as duas expressões para a função em cada intervalo, podemos esboçar o gráfico:
  • Para x >= 0, a função é (parábola voltada para baixo).
  • Para , a função é (parábola voltada para cima).

Passo 7

Vamos identificar alguns pontos importantes para cada parte da função:
  • Para x >= 0:
  • Para :

Resposta

O gráfico da função é formado por duas parábolas:
  • Para x >= 0, é a parábola , que se abre para baixo.
  • Para , é a parábola , que se abre para cima.
As duas parábolas se encontram no ponto . Assim, o gráfico possui simetria em relação à origem e forma um “V” invertido no ponto de interseção.

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