Seja f: R -> R uma função quadrática tal que f(x) = a * x^2 + b * x + c, a ≠ 0, ∀ x ∈ R. Sabendo que x1 = -1 e x2 = 5 são raízes e que f(1) = -8, pede-se: Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função quadrática , onde . Sabemos que as raízes são e , e que . Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre funções quadráticas, identificação de raízes e o cálculo do coeficiente .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática pode ser escrita de duas formas: a forma padrão e a forma fatorada , onde e são as raízes da função.

Passo 3

Como já sabemos as raízes da função ( e ), podemos usar a forma fatorada para escrever a função:

Passo 4

Agora, precisamos determinar o valor de . Para isso, vamos usar a informação que nos foi dada: . Vamos substituir na equação da função:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos escrever a equação completa da função:

Passo 7

Com a equação completa, podemos identificar alguns pontos importantes para esboçar o gráfico:
  1. Raízes: e
  2. Vértice: O ponto mais baixo ou mais alto da parábola. A fórmula para a coordenada do vértice é .
Vamos calcular :
Agora, encontramos :
Então, o vértice é .

Passo 8

Além disso, sabemos que como , a parábola se abre para cima. Agora, podemos listar os pontos que vão ajudar a desenhar o gráfico:
  • Raízes: e
  • Vértice:
  • Ponto adicional: (informação dada no exercício)

Passo 9

Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico:
  1. Plote as raízes no eixo .
  2. Marque o vértice.
  3. Use o ponto adicional para ajudar na forma da parábola.
  4. Desenhe a curva que passa por esses pontos, lembrando que a parábola se abre para cima.

Resposta

O gráfico da função quadrática é uma parábola que se abre para cima, com raízes em e , vértice em , e passa pelo ponto . Ao desenhar, a parábola intercepta o eixo nas raízes, tem o ponto mais baixo no vértice e passa pelo ponto adicional fornecido.

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