Seja
uma função quadrática tal que
. Sabendo que
e
são raízes e que
, pede-se: Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função quadrática
, onde
. Sabemos que as raízes são
e
, e que
. Nosso objetivo é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre funções quadráticas, identificação de raízes e o cálculo do coeficiente
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática pode ser escrita de duas formas: a forma padrão
e a forma fatorada
, onde
e
são as raízes da função.
Passo 3
Como já sabemos as raízes da função (
e
), podemos usar a forma fatorada para escrever a função:
Passo 4
Agora, precisamos determinar o valor de
. Para isso, vamos usar a informação que nos foi dada:
. Vamos substituir
na equação da função:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, podemos escrever a equação completa da função:
Passo 7
Com a equação completa, podemos identificar alguns pontos importantes para esboçar o gráfico:
- Raízes:
e - Vértice: O ponto mais baixo ou mais alto da parábola. A fórmula para a coordenada
do vértice é .
Vamos calcular
:
Agora, encontramos
:
Então, o vértice é
.
Passo 8
Além disso, sabemos que como
, a parábola se abre para cima. Agora, podemos listar os pontos que vão ajudar a desenhar o gráfico:
- Raízes:
e - Vértice:
- Ponto adicional:
(informação dada no exercício)
Passo 9
Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico:
- Plote as raízes no eixo
. - Marque o vértice.
- Use o ponto adicional para ajudar na forma da parábola.
- Desenhe a curva que passa por esses pontos, lembrando que a parábola se abre para cima.
Resposta
O gráfico da função quadrática
é uma parábola que se abre para cima, com raízes em
e
, vértice em
, e passa pelo ponto
. Ao desenhar, a parábola intercepta o eixo
nas raízes, tem o ponto mais baixo no vértice e passa pelo ponto adicional fornecido.