Considere a função f: IR R, definida por
f(x)=lll4-x, & se & 02
A função f é contínua nos pontos x=0 e x=2 ? Justifique a sua resposta;

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos uma função definida por partes e queremos verificar se ela é contínua nos pontos e . Para isso, vamos utilizar os conceitos de limite e valor da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade em . Para isso, precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, e comparar com o valor da função em .

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (-x^2 + 4) = 4 ):
Para , a função é .
Então,

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (4 - x) = 4 ):
Para , a função é .
Então,

Passo 5

Verificando o valor da função em :
Como , usamos .

Passo 6

Como o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em são iguais ( ), a função é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar a continuidade em . Novamente, calculamos os limites pela esquerda e pela direita e comparamos com .

Passo 8

Calculando o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (4 - x) = 2 ):
Para , a função é .
Então,

Passo 9

Calculando o limite pela direita ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ 1x = 12 ):
Para , a função é .
Então,

Passo 10

Verificando o valor da função em :
Para , temos .

Passo 11

Como o limite pela esquerda ( ) é diferente do limite pela direita ( ), a função não é contínua em .

Resposta

A função é contínua em e descontínua em .

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de rosáceas).
r = sen(3 theta).
Considere a função f: IR R, definida por
f(x)=lll4-x, & se & 02
Existem lim x 0 f(x) e lim x 2 f(x) ? Justifique a sua resposta;
Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
0 <= r <= 2, 0 <= theta <= pi/4.
Considere a função f: A ⊆ I → IR, onde A = Dom(f), definida por
f(x) = (3 - x) / (2 x - 4). Determine:
O conjunto imagem da função f, Im(f).