Considere a função , definida por
A função f é contínua nos pontos x=0 e x=2 ? Justifique a sua resposta;
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos uma função definida por partes e queremos verificar se ela é contínua nos pontos e . Para isso, vamos utilizar os conceitos de limite e valor da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade em . Para isso, precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, e comparar com o valor da função em .
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda ( limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (-x^2 + 4) = 4 ):
Para , a função é .
Então,
Passo 4
Calculando o limite pela direita ( limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (4 - x) = 4 ):
Para , a função é .
Então,
Passo 5
Verificando o valor da função em :
Como , usamos .
Passo 6
Como o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função em são iguais (), a função é contínua em .
Passo 7
Agora, vamos verificar a continuidade em . Novamente, calculamos os limites pela esquerda e pela direita e comparamos com .
Passo 8
Calculando o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (4 - x) = 2 ):
Para , a função é .
Então,
Passo 9
Calculando o limite pela direita ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ 1x = 12 ):
Para , a função é .
Então,
Passo 10
Verificando o valor da função em :
Para , temos .
Passo 11
Como o limite pela esquerda () é diferente do limite pela direita (), a função não é contínua em .