Considere a função , onde , definida por . Determine: conjunto imagem da função .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e o que a gente precisa saber é qual o conjunto de todos os possíveis valores que essa função pode assumir, ou seja, o conjunto imagem . Para resolver isso, vamos mexer com álgebra básica e entender melhor como as funções racionais funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar a imagem de uma função. A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir quando a gente varia dentro do domínio. Então, vamos escrever e tentar descobrir para quais valores de essa equação tem solução.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a equação para . Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Passo 4
Agora, distribuímos o no lado esquerdo:
Em seguida, vamos reunir os termos com de um lado e os demais do outro:
Passo 5
Fatoramos o do lado esquerdo:
Agora, isolamos :
Passo 6
Para que essa expressão de seja válida, o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não é definida. Então, temos que:
Passo 7
Isso significa que todo valor de é possível, exceto . Portanto, o conjunto imagem é todos os números reais menos .