Considere uma função definida por Encontre os coeficientes de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre os coeficientes de Fourier de uma função periódica definida por partes. Isso está relacionado à matéria de séries de Fourier, que nos ajuda a decompor funções periódicas em uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os coeficientes , e que compõem a série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Pelo enunciado, a função é periódica com período . Isso significa que a função se repete a cada intervalo de 10 unidades no eixo .
Passo 3
Agora, vamos lembrar como é a série de Fourier para uma função periódica com período :
Nessa expressão, é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos, e são os coeficientes dos senos.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função sobre um período. A fórmula para é:
Substituindo , temos:
Calculando as integrais:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
A primeira integral é zero porque o integrando é zero. Focando na segunda integral:
Integrando:
Sabemos que para todo número inteiro , então:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
A primeira integral é zero novamente. Focando na segunda integral: