Considere uma função definida por f(x) = { 0, se -5 < x < 0; 3, se 0 < x < 5; periódica com T = 10 }ó Encontre os coeficientes de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre os coeficientes de Fourier de uma função periódica definida por partes. Isso está relacionado à matéria de séries de Fourier, que nos ajuda a decompor funções periódicas em uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular os coeficientes , e que compõem a série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Pelo enunciado, a função é periódica com período . Isso significa que a função se repete a cada intervalo de 10 unidades no eixo .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como é a série de Fourier para uma função periódica com período :
Nessa expressão, é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos, e são os coeficientes dos senos.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função sobre um período. A fórmula para é:
Substituindo , temos:
Calculando as integrais:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
A primeira integral é zero porque o integrando é zero. Focando na segunda integral:
Integrando:
Sabemos que para todo número inteiro , então:

Passo 6

Finalmente, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Substituindo :
A primeira integral é zero novamente. Focando na segunda integral:
Integrando:
Simplificando:
Sabendo que , temos:

Resposta

Os coeficientes de Fourier da função são:

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