Para as funções dadas abaixo, determine se ela é periódica e se for, encontre o seu período fundamental:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a função
é periódica e, se for, encontrar o período fundamental dela. A matéria aqui é sobre funções periódicas, que são aquelas que se repetem em intervalos regulares. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é período e verificar se a função se repete após um certo intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função
:
Isso significa que a função alterna entre 0 e 1 em determinados intervalos de
.
Passo 3
Vamos entender o que esses intervalos representam. Para cada inteiro
:
- De
até , a função vale 0. - De
até , a função vale 1.
Então, cada bloco de
tem comprimento 1, e a função alterna entre 0 e 1 a cada intervalo de 1 unidade.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a função se repete após um certo período
. A função será periódica se existir um
tal que:
Observando os intervalos, vemos que a sequência de 0 e 1 se repete a cada 2 unidades de
.
Passo 5
Para confirmar, vamos verificar com
:
- Se
em , então em . - Se
em , então em .
Isso mostra que a função realmente se repete a cada 2 unidades.
Resposta
A função
é periódica e o seu período fundamental é
.