Para as funções dadas abaixo, determine se ela é periódica e se for, encontre o seu período fundamental: u(x) = { 0, 2n - 1 <= x < 2n, n em Z; 1, 2n <= x < 2n + 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se a função é periódica e, se for, encontrar o período fundamental dela. A matéria aqui é sobre funções periódicas, que são aquelas que se repetem em intervalos regulares. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é período e verificar se a função se repete após um certo intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função :
Isso significa que a função alterna entre 0 e 1 em determinados intervalos de .

Passo 3

Vamos entender o que esses intervalos representam. Para cada inteiro :
  • De até , a função vale 0.
  • De até , a função vale 1.
Então, cada bloco de tem comprimento 1, e a função alterna entre 0 e 1 a cada intervalo de 1 unidade.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a função se repete após um certo período . A função será periódica se existir um tal que:
Observando os intervalos, vemos que a sequência de 0 e 1 se repete a cada 2 unidades de .

Passo 5

Para confirmar, vamos verificar com :
  • Se em , então em .
  • Se em , então em .
Isso mostra que a função realmente se repete a cada 2 unidades.

Resposta

A função é periódica e o seu período fundamental é .

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