Seja
uma função definida por
e periódica de período
. Determine uma fórmula para
no intervalo
e no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por partes no intervalo de
a
e que se repete a cada período
. A nossa missão aqui é descobrir como essa função se comporta nos intervalos
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções periódicas funcionam e como aplicar esse conceito para encontrar a forma da função nos intervalos solicitados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica com período
se, para todo
no domínio, temos que
. Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento
.
No nosso caso, o período
, então a função
vai se repetir a cada 2 unidades ao longo do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a definição da função
no intervalo básico de
:
Isso significa que de
a
, a função é
, e de
a
, é simplesmente
.
Passo 4
Para encontrar a fórmula de
no intervalo
, vamos usar a periodicidade da função. Sabemos que o período é 2, então podemos escrever:
Isso significa que para qualquer
no intervalo
, podemos substituir
por
dentro da definição original da função.
Passo 5
Vamos aplicar isso para
:
Primeiro, subtraímos o período
:
Então, como
, temos:
Nesse intervalo, a definição da função é
. Substituindo de volta:
Então, no intervalo
, a função
.
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para o intervalo
. Novamente, usamos a periodicidade:
onde
é o número de períodos completos dentro do intervalo. Aqui,
, então:
Primeiro, determinamos quantos períodos se encaixam entre 0 e 8:
Então:
Para
, temos:
Nesse intervalo, a definição da função é
. Substituindo de volta:
Então, no intervalo
, a função
.
Resposta
A fórmula para
nos intervalos solicitados é: