Seja f: R -> R uma função definida por f(x) = { x + 1, -1 < x < 0; x, 0 < x < 1 } e periódica de período T = 2. Determine uma fórmula para f(x) no intervalo 1 < x < 2 e no intervalo 8 < x < 9.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes no intervalo de a e que se repete a cada período . A nossa missão aqui é descobrir como essa função se comporta nos intervalos e . Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções periódicas funcionam e como aplicar esse conceito para encontrar a forma da função nos intervalos solicitados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica com período se, para todo no domínio, temos que . Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento .
No nosso caso, o período , então a função vai se repetir a cada 2 unidades ao longo do eixo .

Passo 3

Agora, vamos analisar a definição da função no intervalo básico de :
Isso significa que de a , a função é , e de a , é simplesmente .

Passo 4

Para encontrar a fórmula de no intervalo , vamos usar a periodicidade da função. Sabemos que o período é 2, então podemos escrever:
Isso significa que para qualquer no intervalo , podemos substituir por dentro da definição original da função.

Passo 5

Vamos aplicar isso para :
Primeiro, subtraímos o período :
Então, como , temos:
Nesse intervalo, a definição da função é . Substituindo de volta:
Então, no intervalo , a função .

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para o intervalo . Novamente, usamos a periodicidade:
onde é o número de períodos completos dentro do intervalo. Aqui, , então:
Primeiro, determinamos quantos períodos se encaixam entre 0 e 8:
Então:
Para , temos:
Nesse intervalo, a definição da função é . Substituindo de volta:
Então, no intervalo , a função .

Resposta

A fórmula para nos intervalos solicitados é:

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