Considere uma função definida por f(x) = { 0, se -5 < x < 0; 3, se 0 < x < 5; periódica com T = 10 }ó Escreva a correspondente série de Fourier.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida de forma diferente em dois intervalos e que se repete todo 10 unidades, ou seja, tem período . A função vale 0 de a e 3 de a . Nosso objetivo é escrever a série de Fourier correspondente a essa função. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é uma série de Fourier. Basicamente, é uma maneira de expressar uma função periódica como uma soma infinita de funções senoidais (seno e cosseno). No nosso caso, como a função não é nem par nem ímpar, vamos precisar tanto de termos de cosseno quanto de seno.

Passo 3

O próximo passo é determinar os coeficientes da série de Fourier: , e . Esses coeficientes são encontrados através de integrais que envolvem a função .
A fórmula geral da série de Fourier para uma função com período é:

Passo 4

Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para é:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral. Lembrando que de a e de a :

Passo 6

Com isso, temos . Agora vamos calcular os coeficientes . A fórmula é:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 7

Calculando a integral:
Aplicando os limites de 0 a 5:
Mas sabemos que para todo inteiro , então para todos os .

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula é:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 9

Calculando a integral:
Aplicando os limites de 0 a 5:
Simplificando:

Passo 10

Observando o termo , percebemos que para par, e então . Para ímpar, e .
Então, os coeficientes são não nulos apenas para ímpar e valem .

Resposta

A série de Fourier correspondente à função é:

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