Considere uma função definida por Escreva a correspondente série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida de forma diferente em dois intervalos e que se repete todo 10 unidades, ou seja, tem período . A função vale 0 de a e 3 de a . Nosso objetivo é escrever a série de Fourier correspondente a essa função. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é uma série de Fourier. Basicamente, é uma maneira de expressar uma função periódica como uma soma infinita de funções senoidais (seno e cosseno). No nosso caso, como a função não é nem par nem ímpar, vamos precisar tanto de termos de cosseno quanto de seno.
Passo 3
O próximo passo é determinar os coeficientes da série de Fourier: , e . Esses coeficientes são encontrados através de integrais que envolvem a função .
A fórmula geral da série de Fourier para uma função com período é:
Passo 4
Vamos começar calculando o coeficiente , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para é:
Substituindo :
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral. Lembrando que de a e de a :
Passo 6
Com isso, temos . Agora vamos calcular os coeficientes . A fórmula é:
Substituindo :
Simplificando:
Passo 7
Calculando a integral:
Aplicando os limites de 0 a 5:
Mas sabemos que para todo inteiro , então para todos os .
Passo 8
Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula é:
Substituindo :
Simplificando:
Passo 9
Calculando a integral:
Aplicando os limites de 0 a 5:
Simplificando:
Passo 10
Observando o termo , percebemos que para par, e então . Para ímpar, e .
Então, os coeficientes são não nulos apenas para ímpar e valem .