Para as funções dadas abaixo, determine se ela é periódica e se for, encontre o seu período fundamental:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre funções periódicas. O enunciado pede para a gente determinar se a função
é periódica e, se for, encontrar o período fundamental dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como identificar o período de funções trigonométricas, especificamente a tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica se existe um número positivo
tal que
para todo
no domínio da função. O menor valor positivo de
que satisfaz essa condição é chamado de período fundamental da função.
Passo 3
Agora, vamos focar na função
. Sabemos que a função tangente, em geral, tem um período de
. Ou seja,
para qualquer ângulo
.
Passo 4
No nosso caso, a função está dentro de
. Para achar o período fundamental dessa função, precisamos descobrir o valor de
tal que:
Como a função tangente tem período
, isso significa que:
Então, o período fundamental
é
.
Resposta
A função
é periódica, e o seu período fundamental é
.