Para as funções dadas abaixo, determine se ela é periódica e se for, encontre o seu período fundamental: v(x) = { (-1)^n, 2n-1 <= x < 2n, n inteiro; 1, 2n <= x < 2n+1 }

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função é periódica e, se for, encontrar seu período fundamental. Estamos lidando com funções periódicas, que são aquelas que se repetem em intervalos regulares chamados períodos. Para resolver isso, vamos analisar a definição da função e verificar se existe um intervalo tal que para todo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função está definida:
Isso significa que a função assume valores diferentes em intervalos de comprimento 1, dependendo do valor de , que é um número inteiro ( ).

Passo 3

Vamos observar o comportamento da função para diferentes valores de :
  • Para :
    • Quando :
    • Quando :
  • Para :
    • Quando :
    • Quando :
  • Para :
    • Quando :
    • Quando :
E assim por diante para outros valores de .

Passo 4

Analisando os valores obtidos:
  • De a :
  • De a :
  • De a :
  • De a :
  • De a :
  • De a :
Podemos ver que a função não segue um padrão que se repete a cada intervalo de mesmo comprimento. Por exemplo, o valor alterna entre e de forma irregular.

Passo 5

Para uma função ser periódica, deve existir um período tal que a função se repita exatamente após cada unidades. Observando os intervalos acima, não conseguimos identificar um valor de que satisfaça para todo .

Resposta

A função não é periódica.

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