Para as funções dadas abaixo, determine se ela é periódica e se for, encontre o seu período fundamental:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a função
é periódica e, se for, encontrar seu período fundamental. Estamos lidando com funções periódicas, que são aquelas que se repetem em intervalos regulares chamados períodos. Para resolver isso, vamos analisar a definição da função
e verificar se existe um intervalo
tal que
para todo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
está definida:
Isso significa que a função assume valores diferentes em intervalos de comprimento 1, dependendo do valor de
, que é um número inteiro (
).
Passo 3
Vamos observar o comportamento da função para diferentes valores de
:
-
Para
: - Quando
: - Quando
:
- Quando
-
Para
: - Quando
: - Quando
:
- Quando
-
Para
: - Quando
: - Quando
:
- Quando
E assim por diante para outros valores de
.
Passo 4
Analisando os valores obtidos:
- De
a : - De
a : - De
a : - De
a : - De
a : - De
a :
Podemos ver que a função não segue um padrão que se repete a cada intervalo de mesmo comprimento. Por exemplo, o valor alterna entre
e
de forma irregular.
Passo 5
Para uma função ser periódica, deve existir um período
tal que a função se repita exatamente após cada
unidades. Observando os intervalos acima, não conseguimos identificar um valor de
que satisfaça
para todo
.
Resposta
A função
não é periódica.