Seja
uma função definida por
. Faça uma expansão periódica conveniente e mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente pegar a função
definida no intervalo
e encontrar uma expansão periódica dela. Isso entra no assunto de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. A gente vai precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para mostrar que
pode ser escrito como a soma infinita mostrada no enunciado.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a série de Fourier para uma função
periódica com período
é dada por:
No nosso caso, a função é
, que é uma função ímpar, ou seja,
. Isso significa que todos os coeficientes
(que multiplicam os cossenos, funções pares) serão zero. Então, a série fica só com os termos de seno.
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
. A fórmula para
é:
Como
é ímpar e
também é ímpar, o produto
é par. Isso permite que a gente simplifique a integral de
a
para duas vezes a integral de
a
:
Passo 4
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:
Calculando os limites:
Passo 5
Voltando ao coeficiente
:
Então, a série de Fourier para
fica:
Resposta
Portanto, a expansão periódica da função
é: