Seja f: (-pi, pi) -> R uma função definida por f(x) = x. Faça uma expansão periódica conveniente e mostre que x = 2[sen(x)/1 - sen(2x)/2 + sen(3x)/3 - ...]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente pegar a função definida no intervalo e encontrar uma expansão periódica dela. Isso entra no assunto de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como soma de senos e cossenos. A gente vai precisar calcular os coeficientes da série de Fourier para mostrar que pode ser escrito como a soma infinita mostrada no enunciado.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a série de Fourier para uma função periódica com período é dada por:
No nosso caso, a função é , que é uma função ímpar, ou seja, . Isso significa que todos os coeficientes (que multiplicam os cossenos, funções pares) serão zero. Então, a série fica só com os termos de seno.

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula para é:
Como é ímpar e também é ímpar, o produto é par. Isso permite que a gente simplifique a integral de a para duas vezes a integral de a :

Passo 4

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Então:
Calculando os limites:

Passo 5

Voltando ao coeficiente :
Então, a série de Fourier para fica:

Resposta

Portanto, a expansão periódica da função é:

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