Seja f:(0, L] R uma função definida por f(x)=x^2. Use série de Fourier obtida em (b) para mostrar que pi^26=sumn=1^infty 1n^2=11^2+12^2+13^2+14^2

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar esse exercício juntos! A gente tem a função definida no intervalo . A ideia aqui é usar a série de Fourier dessa função para mostrar que é igual à soma infinita . Então, vamos precisar entender como a série de Fourier dessa função é construída e como ela pode nos levar a essa soma famosa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Fourier para a função f(x) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(npi xL) + bn sin(npi xL) ] . A série de Fourier de uma função periódica f(x) = a0 + sumn=1^infty an cos(npi xL) no intervalo é dada por:
Mas como é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), todos os coeficientes serão zero. Assim, a série de Fourier simplifica para:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os coeficientes a0 = 1L integral0^L f(x) , dx = 1L integral0^L x^2 , dx = 1L [ x^33 ]0^L = L^23 e an = 2L integral0^L f(x) cos(npi xL) , dx . Para an = 4L^2(npi)^2 (-1)^n , usamos a fórmula:
x^2 = L^23 + 4L^2pi^2 sumn=1^infty (-1)^nn^2 cos(npi xL)
Para :
Esse cálculo resulta em:
Então, a série de Fourier fica:

Passo 4

Para simplificar, vamos escolher 0^2 = L^23 + 4L^2pi^2 sumn=1^infty (-1)^nn^2 cdot 1 . Substituindo na série:
0 = L^23 + 4L^2pi^2 sumn=1^infty (-1)^nn^2
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, resolvemos para a soma. Isolando a soma:
sumn=1^infty (-1)^nn^2 = -pi^212
Sabemos que a soma dos inversos dos quadrados (a série de Basel) é:
sumn=1^infty 1n^2 = pi^26

Resposta

Portanto, mostramos que:
pi^26 = sumn=1^infty 1n^2 = 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2 + dots

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