Seja
uma função definida por
. Use série de Fourier obtida em (b) para mostrar que
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar esse exercício juntos! A gente tem a função
definida no intervalo
. A ideia aqui é usar a série de Fourier dessa função para mostrar que
é igual à soma infinita
. Então, vamos precisar entender como a série de Fourier dessa função é construída e como ela pode nos levar a essa soma famosa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Fourier para a função
. A série de Fourier de uma função periódica
no intervalo
é dada por:
Mas como
é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), todos os coeficientes
serão zero. Assim, a série de Fourier simplifica para:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
e
. Para
, usamos a fórmula:
Para
:
Esse cálculo resulta em:
Então, a série de Fourier fica:
Passo 4
Para simplificar, vamos escolher
. Substituindo na série:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, resolvemos para a soma. Isolando a soma:
Sabemos que a soma dos inversos dos quadrados (a série de Basel) é:
Resposta
Portanto, mostramos que: