Considere a função definida por
Verifique que . Pergunta-se: é contínua no ponto ? Por que? Resp. Não.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para e outra para . O conteúdo aqui envolve limites e continuidade de funções. Vamos precisar calcular os limites laterais de quando se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda, e depois comparar esses limites com o valor da função em .

Passo 2

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, . Para , a função é dada por:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Como estamos considerando se aproximando de 1 pela direita ( ), é positivo. Portanto:
Então, a função fica:
Agora, calculamos o limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, . A expressão para permanece a mesma:
Simplificamos novamente:
Como estamos considerando se aproximando de 1 pela esquerda ( ), é negativo. Portanto:
Então, a função fica:
Calculamos o limite:

Passo 4

Observamos que ambos os limites laterais são iguais:
No entanto, para a função ser contínua em , o valor da função em deve ser igual a esse limite comum. Mas sabemos que:
Como , a função não é contínua em .

Resposta

Não.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de a expressão é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
A resolução abaixo está incorreta. Assinale o erro e calcule (corretamente) o limite:
Verifique se é contínua e derivável no ponto , sendo:
(i)
Calcule para as funções abaixo:
2)