Considere a função f: R R definida por
f(x)=cc raiz(x-1)^6x-1 & , se x neq 1 1 & , se x=1
Verifique que lim x 1^+ f(x)=lim x 1^- f(x). Pergunta-se: f é contínua no ponto x=1 ? Por que? Resp. Não.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para e outra para . O conteúdo aqui envolve limites e continuidade de funções. Vamos precisar calcular os limites laterais de quando se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda, e depois comparar esses limites com o valor da função em .

Passo 2

Vamos calcular o limite de f(x) = raiz(x - 1)^6x - 1 quando raiz(x - 1)^6 = |(x - 1)^3| se aproxima de 1 pela direita, ou seja, |(x - 1)^3| = (x - 1)^3 . Para f(x) = (x - 1)^3x - 1 = (x - 1)^2 , a função é dada por:
limx to 1^+ (x - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Como estamos considerando se aproximando de 1 pela direita ( ), é positivo. Portanto:
Então, a função fica:
Agora, calculamos o limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = raiz(x - 1)^6x - 1 quando raiz(x - 1)^6 = |(x - 1)^3| se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, |(x - 1)^3| = -(x - 1)^3 . A expressão para f(x) = -(x - 1)^3x - 1 = -(x - 1)^2 permanece a mesma:
limx to 1^- -(x - 1)^2 = - (1 - 1)^2 = 0
Simplificamos novamente:
Como estamos considerando se aproximando de 1 pela esquerda ( ), é negativo. Portanto:
Então, a função fica:
Calculamos o limite:

Passo 4

Observamos que ambos os limites laterais são iguais:
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^- f(x) = 0
No entanto, para a função ser contínua em f(1) = 1 , o valor da função em deve ser igual a esse limite comum. Mas sabemos que:
Como , a função não é contínua em .

Resposta

Não.

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