Verifique que . Pergunta-se: é contínua no ponto ? Por que? Resp. Não.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para e outra para . O conteúdo aqui envolve limites e continuidade de funções. Vamos precisar calcular os limites laterais de quando se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda, e depois comparar esses limites com o valor da função em .
Passo 2
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, . Para , a função é dada por:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Como estamos considerando se aproximando de 1 pela direita (), é positivo. Portanto:
Então, a função fica:
Agora, calculamos o limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, . A expressão para permanece a mesma:
Simplificamos novamente:
Como estamos considerando se aproximando de 1 pela esquerda (), é negativo. Portanto:
Então, a função fica:
Calculamos o limite:
Passo 4
Observamos que ambos os limites laterais são iguais:
No entanto, para a função ser contínua em , o valor da função em deve ser igual a esse limite comum. Mas sabemos que: