Considere a função
definida por
Verifique que
. Pergunta-se:
é contínua no ponto
? Por que? Resp. Não.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas maneiras diferentes: uma para
e outra para
. O conteúdo aqui envolve limites e continuidade de funções. Vamos precisar calcular os limites laterais de
quando
se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda, e depois comparar esses limites com o valor da função em
.
Passo 2
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita, ou seja,
. Para
, a função é dada por:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da raiz:
Como estamos considerando
se aproximando de 1 pela direita (
),
é positivo. Portanto:
Então, a função fica:
Agora, calculamos o limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja,
. A expressão para
permanece a mesma:
Simplificamos novamente:
Como estamos considerando
se aproximando de 1 pela esquerda (
),
é negativo. Portanto:
Então, a função fica:
Calculamos o limite:
Passo 4
Observamos que ambos os limites laterais são iguais:
No entanto, para a função ser contínua em
, o valor da função em
deve ser igual a esse limite comum. Mas sabemos que:
Como
, a função não é contínua em
.
Resposta
Não.