Verifique se
é contínua e derivável no ponto
, sendo:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função
é contínua e diferenciável no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender continuidade e diferenciabilidade de funções. Vamos passo a passo para analisar cada um desses aspectos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto
.
Continuidade significa que, conforme nos aproximamos de
, o valor da função se aproxima de
. Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 3
Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Sabemos que, próximo de 0,
é aproximadamente igual a
, então:
E sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Comparando os valores, temos:
Como o limite da função quando
se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0, concluímos que
é contínua em
.
Passo 6
Agora, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto
.
Diferenciabilidade significa que a derivada da função existe nesse ponto. A derivada pode ser calculada usando o limite:
Passo 7
Aplicando isso para
em
:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 8
Observamos que:
No entanto, precisamos considerar se a derivada é a mesma vindo pela esquerda e pela direita.
Passo 9
Calculando a derivada pela direita (
):
E pela esquerda (
):
Os limites são diferentes, o que significa que a derivada não existe nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é diferenciável nesse ponto.