Verifique se f é contínua e derivável no ponto x_0, sendo:
(i) f(x) = |sen(x)|, x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a função é contínua e diferenciável no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender continuidade e diferenciabilidade de funções. Vamos passo a passo para analisar cada um desses aspectos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto .
Continuidade significa que, conforme nos aproximamos de , o valor da função se aproxima de . Matematicamente, isso é expresso como:

Passo 3

Vamos calcular :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Sabemos que, próximo de 0, é aproximadamente igual a , então:
E sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Comparando os valores, temos:
Como o limite da função quando se aproxima de 0 é igual ao valor da função em 0, concluímos que é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos verificar se a função é diferenciável no ponto .
Diferenciabilidade significa que a derivada da função existe nesse ponto. A derivada pode ser calculada usando o limite:

Passo 7

Aplicando isso para em :
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 8

Observamos que:
No entanto, precisamos considerar se a derivada é a mesma vindo pela esquerda e pela direita.

Passo 9

Calculando a derivada pela direita ( ):
E pela esquerda ( ):
Os limites são diferentes, o que significa que a derivada não existe nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em , mas não é diferenciável nesse ponto.

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