Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de x a expressão f(x) é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
(a) f(x) = x^2 - 1
(b) f(x) = x^2 + x + 1
© f(x) = -x^2 - 2x - 1
(d) f(x) = x^2 - 5x + 6
(e) f(x)=x^2-2x+2
(f) f(x) = (x + 1)² - 2
(g) f(x) = -x^2 + 3x
(h) f(x) = x^2 + 6x + 9
(i) f(x) = x^2 * |x|

Passo 1

Então, a gente tem a função . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função, descobrir para quais valores de ela é positiva, negativa ou igual a zero, e também identificar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e suas propriedades, como vértice, raízes e concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso significa resolver a equação:
Então, as raízes são e .

Passo 3

Agora, vamos determinar o sinal da função. Queremos saber onde é positiva, negativa ou zero. Sabemos que uma função quadrática com coeficiente positivo no termo de (nesse caso, 1) tem a concavidade para cima, formando uma parábola.
  • Para , que está antes da primeira raiz, vamos escolher um valor, por exemplo, :
    (positivo)
  • Para , escolhemos :
    (negativo)
  • Para , escolhemos :
    (positivo)
Portanto:
  • para e
  • para
  • em e

Passo 4

Agora, vamos ver onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos a derivada de .
Calculando a derivada:
  • Quando , a função está crescendo.
  • Quando , a função está decrescendo.
Assim:
  • Para , , então está crescendo.
  • Para , , então está decrescendo.

Resposta

A função é positiva para e , negativa para , e nula em e . Além disso, a função está decrescendo quando e crescendo quando .

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