Então, a gente tem a função . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função, descobrir para quais valores de ela é positiva, negativa ou igual a zero, e também identificar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e suas propriedades, como vértice, raízes e concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Isso significa resolver a equação:
Então, as raízes são e .
Passo 3
Agora, vamos determinar o sinal da função. Queremos saber onde é positiva, negativa ou zero. Sabemos que uma função quadrática com coeficiente positivo no termo de (nesse caso, 1) tem a concavidade para cima, formando uma parábola.
Para , que está antes da primeira raiz, vamos escolher um valor, por exemplo, :
(positivo)
Para , escolhemos :
(negativo)
Para , escolhemos :
(positivo)
Portanto:
para e
para
em e
Passo 4
Agora, vamos ver onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos a derivada de .
Calculando a derivada:
Quando , a função está crescendo.
Quando , a função está decrescendo.
Assim:
Para , , então está crescendo.
Para , , então está decrescendo.
Resposta
A função é positiva para e , negativa para , e nula em e . Além disso, a função está decrescendo quando e crescendo quando .