Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de
a expressão
é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
Então, a gente tem a função
. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa função, descobrir para quais valores de
ela é positiva, negativa ou igual a zero, e também identificar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e suas propriedades, como vértice, raízes e concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Isso significa resolver a equação:
Então, as raízes são
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o sinal da função. Queremos saber onde
é positiva, negativa ou zero. Sabemos que uma função quadrática com coeficiente positivo no termo de
(nesse caso, 1) tem a concavidade para cima, formando uma parábola.
-
Para
, que está antes da primeira raiz, vamos escolher um valor, por exemplo, : (positivo) -
Para
, escolhemos : (negativo) -
Para
, escolhemos : (positivo)
Portanto:
-
para e -
para -
em e
Passo 4
Agora, vamos ver onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos a derivada de
.
Calculando a derivada:
- Quando
, a função está crescendo. - Quando
, a função está decrescendo.
Assim:
- Para
, , então está crescendo. - Para
, , então está decrescendo.
Resposta
A função
é positiva para
e
, negativa para
, e nula em
e
. Além disso, a função está decrescendo quando
e crescendo quando
.