Considere a função definida por . Determine uma aproximação para a partir da ideia de derivada como aproximação linear, e explique por que a aproximação obtida é boa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por e queremos encontrar uma aproximação para usando a ideia de derivada como aproximação linear. Isso significa que vamos usar a reta tangente à função em para estimar o valor perto desse ponto. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de e usar a fórmula da aproximação linear.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor de . Substituindo na função:
Então, sabemos que quando , .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de , que nos dará a inclinação da reta tangente. A função é composta, então vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicando a derivada:
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente em é .

Passo 5

Com a derivada calculada, podemos usar a fórmula da aproximação linear:
Aqui, e (já que queremos aproximar ):

Resposta

A aproximação para usando a derivada como aproximação linear é . Essa aproximação é boa porque está bem próximo de , e a reta tangente fornece uma estimativa precisa para valores próximos ao ponto de tangência.

Exercícios relacionados

Considere a função definida por .
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma com ) que contenha uma raiz de .
Determine , se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas: , se e , se
Usando a definição de derivada, calcule , sendo dados: e ;
Indique os domínios das funções dadas e derive-as: