Considere a função
definida por
. Determine uma aproximação para
a partir da ideia de derivada como aproximação linear, e explique por que a aproximação obtida é boa.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
e queremos encontrar uma aproximação para
usando a ideia de derivada como aproximação linear. Isso significa que vamos usar a reta tangente à função em
para estimar o valor perto desse ponto. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
e usar a fórmula da aproximação linear.
Passo 2
Vamos começar calculando o valor de
. Substituindo
na função:
Então, sabemos que quando
,
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
, que nos dará a inclinação da reta tangente. A função é composta, então vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicando a derivada:
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular
substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente em
é
.
Passo 5
Com a derivada calculada, podemos usar a fórmula da aproximação linear:
Aqui,
e
(já que queremos aproximar
):
Resposta
A aproximação para
usando a derivada como aproximação linear é
. Essa aproximação é boa porque
está bem próximo de
, e a reta tangente fornece uma estimativa precisa para valores próximos ao ponto de tangência.
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
.
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma com
) que contenha uma raiz de
.
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma
Determine
, se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas:
, se
e
, se
Usando a definição de derivada, calcule
, sendo dados:
e
;
Indique os domínios das funções dadas e derive-as: