Determine , se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas: , se e , se

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que a função seja contínua. A matéria envolvida aqui é a continuidade de funções, e vamos precisar entender como calcular limites para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em . Para isso, o limite de quando se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função em , que é .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Esse limite está na forma , que é uma indeterminação. Então, vamos usar um truque de fatoração para simplificar.

Passo 4

Perceba que pode ser fatorado como . Assim, temos:
Os termos se cancelam, restando:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo :
Então, o limite quando se aproxima de 1 é 5.

Resposta

Para que a função seja contínua, deve ser igual a 5.

Exercícios relacionados

Derive as funções abaixo:
Calcule os limites no infinito:
Considere a função definida por .
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma com ) que contenha uma raiz de .
Considere a função definida por . Determine uma aproximação para a partir da ideia de derivada como aproximação linear, e explique por que a aproximação obtida é boa.