Determine
, se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas:
, se
e
, se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
para que a função
seja contínua. A matéria envolvida aqui é a continuidade de funções, e vamos precisar entender como calcular limites para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em
. Para isso, o limite de
quando
se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função em
, que é
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Esse limite está na forma
, que é uma indeterminação. Então, vamos usar um truque de fatoração para simplificar.
Passo 4
Perceba que
pode ser fatorado como
. Assim, temos:
Os termos
se cancelam, restando:
Passo 5
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Então, o limite quando
se aproxima de 1 é 5.
Resposta
Para que a função
seja contínua,
deve ser igual a 5.
Exercícios relacionados
Derive as funções abaixo:
Calcule os limites no infinito:
Considere a função
definida por
.
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma com
) que contenha uma raiz de
.
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma
Considere a função
definida por
. Determine uma aproximação para
a partir da ideia de derivada como aproximação linear, e explique por que a aproximação obtida é boa.