Usando a definição de derivada, calcule , sendo dados: e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a derivada de uma função usando a definição de derivada. A função dada é e queremos encontrar onde . Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada, que envolve limites, e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da seguinte expressão quando se aproxima de zero:
Isso significa que vamos calcular a taxa de variação da função perto de .

Passo 3

Vamos substituir a função na definição. Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, expandimos o termo :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Subtraímos dessa expressão. Sabemos que :

Passo 6

Agora, colocamos isso na fórmula da derivada:

Passo 7

Podemos simplificar a fração dividindo cada termo no numerador por :

Passo 8

Agora, tiramos o limite quando se aproxima de zero:

Passo 9

Finalmente, substituímos na expressão encontrada:

Resposta

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Considere a função definida por . Determine uma aproximação para a partir da ideia de derivada como aproximação linear, e explique por que a aproximação obtida é boa.
Considere a função definida por .
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma com ) que contenha uma raiz de .
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;