Usando a definição de derivada, calcule
, sendo dados:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para calcular a derivada de uma função usando a definição de derivada. A função dada é
e queremos encontrar
onde
. Para isso, vamos precisar entender a definição de derivada, que envolve limites, e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da seguinte expressão quando
se aproxima de zero:
Isso significa que vamos calcular a taxa de variação da função
perto de
.
Passo 3
Vamos substituir a função
na definição. Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, expandimos o termo
:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Subtraímos
dessa expressão. Sabemos que
:
Passo 6
Agora, colocamos isso na fórmula da derivada:
Passo 7
Podemos simplificar a fração dividindo cada termo no numerador por
:
Passo 8
Agora, tiramos o limite quando
se aproxima de zero:
Passo 9
Finalmente, substituímos
na expressão encontrada:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
. Determine uma aproximação para
a partir da ideia de derivada como aproximação linear, e explique por que a aproximação obtida é boa.
Considere a função
definida por
.
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma com
) que contenha uma raiz de
.
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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