Considere a função
definida por
.
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma
com
) que contenha uma raiz de
.
Dê algum intervalo aberto de comprimento 1 (isto é, um, intervalo da forma
Passo 1
Então, vamos lá! Temos a função
. O que a gente precisa aqui é encontrar um intervalo aberto com comprimento 1, ou seja, da forma
onde
, que contenha uma raiz dessa função. A matéria envolvida aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que nos diz que se uma função é contínua em um intervalo e muda de sinal nos extremos desse intervalo, então ela deve ter pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos precisar calcular os valores da função em dois pontos que estão separados por 1 unidade e verificar se os sinais são opostos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um valor de
para começar. Que tal
? Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 3
Agora, como queremos um intervalo de comprimento 1, vamos olhar para
e
. Vamos calcular
:
Então,
.
Passo 4
Vemos que
e
. Os sinais são iguais, então não nos ajuda a garantir uma raiz nesse intervalo. Vamos tentar deslocar um pouco. Vamos para
e
.
Passo 5
Calculando
:
Então,
.
Passo 6
Já sabemos que
. Agora temos
e
. Aqui, os sinais são opostos: um negativo e outro positivo.
Passo 7
Como a função
é contínua (pois é a soma de funções contínuas) e mudou de sinal entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Resposta
Um intervalo aberto que satisfaz as condições é
.
Exercícios relacionados
Determine
, se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas:
, se
e
, se
Derive as funções abaixo:
Considere a função
definida por
. Determine uma aproximação para
a partir da ideia de derivada como aproximação linear, e explique por que a aproximação obtida é boa.
Usando a definição de derivada, calcule
, sendo dados:
e
;