Considere a função diferenciável
e as funções
e
. Sabendo que
e
, determine
e
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as derivadas parciais de uma função composta
em relação a
e
no ponto
. Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar das expressões de
e
, além das derivadas parciais de
em
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
E sabemos que:
Queremos encontrar
e
.
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia para
nos diz que:
Precisamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, e avaliá-las em
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivadas de
:
- Derivadas de
:
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
- Para
em :
- Para
em :
- Para
em :
- Para
em :
Passo 5
Agora, vamos aplicar a regra da cadeia com as derivadas calculadas:
- Para
:
- Para
:
Resposta
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Encontre os zeros das seguintes funções quadráticas.
Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Determine, por definição, a derivada direcional de
em
na direção de
,