Considere a função diferenciável f(x, y) e as funções x(u, v)=v cos (pi+u)+e^u v e y(u, v)=u^2+v^2. Sabendo que partial fpartial x(-1,4)=3 e partial fpartial y(-1,4)=2, determine partial Fpartial u(0,2) e partial Fpartial v(0,2), onde F(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as derivadas parciais de uma função composta em relação a e no ponto . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar das expressões de e , além das derivadas parciais de em .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
x(u, v) = v cos(pi + u) + e^uv
y(u, v) = u^2 + v^2
E sabemos que:
partial fpartial x(-1, 4) = 3
partial fpartial y(-1, 4) = 2
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia para partial Fpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u nos diz que:
partial Fpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v
Precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e , e avaliá-las em .

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivadas de partial xpartial u = -v sin(pi + u) + v e^uv :
partial xpartial v = cos(pi + u) + u e^uv
partial ypartial u = 2u
  1. Derivadas de partial ypartial v = 2v :
partial xpartial u(0, 2) = -2 sin(pi + 0) + 2 e^0 cdot 2 = -2 sin(pi) + 2 e^0 = -2 cdot 0 + 2 cdot 1 = 2
partial xpartial v(0, 2) = cos(pi + 0) + 0 cdot e^0 cdot 2 = cos(pi) + 0 = -1 + 0 = -1
Agora, vamos avaliar essas derivadas em partial ypartial u(0, 2) = 2 cdot 0 = 0 :
  1. Para partial ypartial v(0, 2) = 2 cdot 2 = 4 em :
  1. Para em :
  1. Para em :
  1. Para em :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia com as derivadas calculadas:
  1. Para partial Fpartial u(0, 2) = partial fpartial x(-1, 4) cdot partial xpartial u(0, 2) + partial fpartial y(-1, 4) cdot partial ypartial u(0, 2) :
= 3 cdot 2 + 2 cdot 0 = 6 + 0 = 6
partial Fpartial v(0, 2) = partial fpartial x(-1, 4) cdot partial xpartial v(0, 2) + partial fpartial y(-1, 4) cdot partial ypartial v(0, 2)
  1. Para = 3 cdot (-1) + 2 cdot 4 = -3 + 8 = 5 :

Resposta

partial Fpartial u(0, 2) = 6 e partial Fpartial v(0, 2) = 5

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