Considere a função diferenciável e as funções e . Sabendo que e , determine e , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as derivadas parciais de uma função composta em relação a e no ponto . Estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar das expressões de e , além das derivadas parciais de em .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
E sabemos que:
Queremos encontrar e .

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia para nos diz que:
Precisamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e , e avaliá-las em .

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivadas de :
  1. Derivadas de :
Agora, vamos avaliar essas derivadas em :
  1. Para em :
  1. Para em :
  1. Para em :
  1. Para em :

Passo 5

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia com as derivadas calculadas:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

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Encontre os zeros das seguintes funções quadráticas.
Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de
Determine, por definição, a derivada direcional de em na direção de ,