Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se as funções
e
são linearmente independentes ou dependentes. Isso vem da área de álgebra linear, onde verificamos se funções ou vetores têm alguma relação linear entre si. Pra isso, vamos usar o conceito de combinação linear e ver se uma função pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Duas funções são linearmente dependentes se existir uma combinação linear delas que resulte na função zero, sem que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, se a gente conseguir encontrar números
e
tais que:
para todo
, então elas são linearmente dependentes. Se a única solução for
e
, elas são independentes.
Passo 3
Vamos montar essa equação com as funções dadas:
Queremos que essa igualdade seja verdadeira para todo
no domínio das funções. Vamos tentar resolver isso.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o
:
Agora, temos uma equação quadrática em termos de
.
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero. Então, temos:
Isso mostra que a única solução possível é
e
.
Resposta
Como a única solução é
e
, as funções
e
são linearmente independentes.