Determine a derivada direcional da função dada no ponto P0 e na direção de v
b) f(x, y)=ln (x^2+y^2) ; P0=(1,0) ; v=(cos (pi3), sen(pi3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional! A gente tem a função no ponto e quer descobrir a derivada direcional nessa direção . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de partial fpartial x = 2xx^2 + y^2 em relação a partial fpartial y = 2yx^2 + y^2 e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto partial fpartial xg|(1,0) = 2 cdot 11^2 + 0^2 = 21 = 2 .
Para partial fpartial yg|(1,0) = 2 cdot 01^2 + 0^2 = 0 em nabla f(1, 0) = (2, 0) :
Para em :
Então, o gradiente de em é:

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor direção v = (cos(pi3), sen(pi3)) = (12, raiz32) para garantir que seja um vetor unitário. O vetor é:
Como já é um vetor unitário (porque ), não precisamos normalizar.

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Dvf = nabla f cdot v
Substituindo os valores que encontramos:
Dvf = (2, 0) cdot (12, raiz32) = 2 cdot 12 + 0 cdot raiz32 = 1 + 0 = 1

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é igual a 1.

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