Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional! A gente tem a função no ponto e quer descobrir a derivada direcional nessa direção . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e usar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto .
Para em :
Para em :
Então, o gradiente de em é:

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor direção para garantir que seja um vetor unitário. O vetor é:
Como já é um vetor unitário (porque ), não precisamos normalizar.

Passo 5

Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é igual a 1.

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