Determine, por definição, a derivada direcional de em na direção de ,

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar, por definição, a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor .
Aqui, estamos lidando com derivadas direcionais, que nos indicam como a função muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função no ponto e depois fazer o produto escalar desse gradiente com o vetor direção .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Isso significa que:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Portanto, o gradiente de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:
Então, o gradiente no ponto é .

Passo 4

O próximo passo é calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Aqui, o “ ” representa o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando os resultados.
Vamos aplicar isso:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é:

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Determine a derivada direcional da função dada no ponto e na direção de
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