Determine, por definição, a derivada direcional de
em
na direção de
,
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para determinar, por definição, a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
.
Aqui, estamos lidando com derivadas direcionais, que nos indicam como a função
muda em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função
no ponto
e depois fazer o produto escalar desse gradiente com o vetor direção
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso significa que:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituindo
e
na expressão do gradiente:
Então, o gradiente no ponto
é
.
Passo 4
O próximo passo é calcular a derivada direcional usando a fórmula:
Aqui, o “
” representa o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar é calculado multiplicando as componentes correspondentes dos vetores e somando os resultados.
Vamos aplicar isso:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada direcional da função dada no ponto
e na direção de
Considere a função diferenciável
e as funções
e
. Sabendo que
e
, determine
e
, onde
.
Use a fórmula de Bhaskara para encontrar os zeros de cada função dada.
Encontre os zeros das seguintes funções quadráticas.