Considere uma função de duas variáveis f(x, y) e as funções de uma variável x(t) e y(t), todas diferenciáveis tais que:
a. x(4) = 5 e y(4) = -2
b. x'(4) = 1 e y'(4) = 2
c. f_x(5,-2)=-3 e f_y(5,-2) = 6
Nessas condições, calcule d f / d t para t = 4.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função de duas variáveis, , e duas funções que dependem de , que são e . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da regra da cadeia para derivadas parciais. Ela nos diz que se depende de e , que por sua vez dependem de , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a mudança em em relação a depende das mudanças em e com relação a .

Passo 3

Vamos identificar os valores que já conhecemos:

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da regra da cadeia:

Passo 5

Fazendo as contas:

Resposta

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