Considere uma função de duas variáveis e as funções de uma variável , todas diferenciáveis tais que:
a.
b.
c. e
Nessas condições, calcule para .

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função de duas variáveis, , e duas funções que dependem de , que são e . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da regra da cadeia para derivadas parciais. Ela nos diz que se depende de e , que por sua vez dependem de , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que a mudança em em relação a depende das mudanças em e com relação a .

Passo 3

Vamos identificar os valores que já conhecemos:

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da regra da cadeia:

Passo 5

Fazendo as contas:

Resposta

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Considere uma função tal que, para todo , verifica-se a igualdade .
a. Determine o valor de para .
Suponha que . Calcule .
Considere uma função tal que, para todo , verifica-se a igualdade .
b. Calcule o valor da expressão
Considere uma função tal que, para todo , verifica-se a igualdade .
c. Sabendo que , em que p e q são constantes, calcule os valores de peq.