Suponha que
. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos diz que
e pede para calcularmos o limite de
quando
se aproxima de 1. Aqui, estamos lidando com limites e desigualdades, e vamos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema da Sanduíche) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a desigualdade
está nos dizendo. Ela limita a diferença entre
e 3 por uma função que depende de
.
Passo 3
Sabemos que quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Portanto,
também se aproxima de 0. Assim, a desigualdade nos mostra que
fica cada vez mais próximo de 3 conforme
se aproxima de 1.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Aperto, que diz que se
e os limites de
e
são iguais a
quando
se aproxima de
, então o limite de
também é
. No nosso caso,
e
. Ambos os limites de
e
quando
tende a 1 são 3.
Resposta
Portanto, o limite de
quando
se aproxima de 1 é 3.
Exercícios relacionados
Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver o seguintes problema: Se
representa a temperatura num ponto
numa certa região do plano, encontre uma aproximação linear para
próximo ao ponto (1,0). Estime a temperatura em
.
Considere uma função
tal que, para todo
, verifica-se a igualdade
.
a. Determine o valor de para
.
a. Determine o valor de
Considere uma função de duas variáveis
e as funções de uma variável
, todas diferenciáveis tais que:
a.
b.
c. e
Nessas condições, calcule para
.
a.
b.
c.
Nessas condições, calcule