Suponha que . Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos diz que e pede para calcularmos o limite de quando se aproxima de 1. Aqui, estamos lidando com limites e desigualdades, e vamos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema da Sanduíche) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a desigualdade está nos dizendo. Ela limita a diferença entre e 3 por uma função que depende de .

Passo 3

Sabemos que quando se aproxima de 1, se aproxima de 0. Portanto, também se aproxima de 0. Assim, a desigualdade nos mostra que fica cada vez mais próximo de 3 conforme se aproxima de 1.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Aperto, que diz que se e os limites de e são iguais a quando se aproxima de , então o limite de também é . No nosso caso, e . Ambos os limites de e quando tende a 1 são 3.

Resposta

Portanto, o limite de quando se aproxima de 1 é 3.

Exercícios relacionados

Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de cálculo e precisamos resolver o seguintes problema: Se representa a temperatura num ponto numa certa região do plano, encontre uma aproximação linear para próximo ao ponto (1,0). Estime a temperatura em .
Considere uma função tal que, para todo , verifica-se a igualdade .
a. Determine o valor de para .
Considere uma função de duas variáveis e as funções de uma variável , todas diferenciáveis tais que:
a.
b.
c. e
Nessas condições, calcule para .