Considere uma função
tal que, para todo
, verifica-se a igualdade
.
b. Calcule o valor da expressão
b. Calcule o valor da expressão
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que, quando substituímos
por
e
por
, resulta na expressão
. Nosso objetivo é encontrar a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
, ou seja,
.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas. Neste caso,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
.
Passo 3
Primeiro, vamos escrever a expressão dada usando a notação de função composta:
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a
.
Passo 4
Aplicando a derivada em relação a
no lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora, derivamos o lado direito da igualdade original:
Então, temos:
Passo 6
Nos interessa encontrar
. Vamos identificar para qual valor de
temos
e
.
Resolvendo
:
Verificando
:
Então,
corresponde ao ponto
.
Passo 7
Substituímos
na equação que obtivemos:
Simplificando:
Passo 8
Queremos
, então dividimos ambos os lados por 2:
Resposta
O valor de
é 25.