Considere uma função
tal que, para todo
, verifica-se a igualdade
.
b. Calcule o valor da expressão
b. Calcule o valor da expressão
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que, quando substituímos
por
e
por
, resulta na expressão
. Nosso objetivo é encontrar a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
, ou seja,
.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas. Neste caso,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
.
Passo 3
Primeiro, vamos escrever a expressão dada usando a notação de função composta:
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a
.
Passo 4
Aplicando a derivada em relação a
no lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora, derivamos o lado direito da igualdade original:
Então, temos:
Passo 6
Nos interessa encontrar
. Vamos identificar para qual valor de
temos
e
.
Resolvendo
:
Verificando
:
Então,
corresponde ao ponto
.
Passo 7
Substituímos
na equação que obtivemos:
Simplificando:
Passo 8
Queremos
, então dividimos ambos os lados por 2:
Resposta
O valor de
é 25.
Exercícios relacionados
Considere uma função de duas variáveis
e as funções de uma variável
, todas diferenciáveis tais que:
a.
b.
c. e
Nessas condições, calcule para
.
a.
b.
c.
Nessas condições, calcule
Considere uma função
tal que, para todo
, verifica-se a igualdade
.
a. Determine o valor de para
.
a. Determine o valor de
Considere uma função
tal que, para todo
, verifica-se a igualdade
.
c. Sabendo que , em que p e q são constantes, calcule os valores de peq.
c. Sabendo que
Determine a massa e o centro de massa de um sólido que tem densidade constante, limitado por
no plano
e pelo parabolóide
(2,0 pontos)