Considere uma função f(x, y) tal que, para todo t em R, verifica-se a igualdade f(t^2, 2t) = 8t^7 - t^6.
b. Calcule o valor da expressão f_x(1,2) + f_y(1,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que, quando substituímos por e por , resulta na expressão . Nosso objetivo é encontrar a soma das derivadas parciais de em relação a e no ponto , ou seja, .

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia nos ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas. Neste caso, é uma função de e , que por sua vez são funções de .

Passo 3

Primeiro, vamos escrever a expressão dada usando a notação de função composta:
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a .

Passo 4

Aplicando a derivada em relação a no lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 5

Agora, derivamos o lado direito da igualdade original:
Então, temos:

Passo 6

Nos interessa encontrar . Vamos identificar para qual valor de temos e .
Resolvendo :
Verificando :
Então, corresponde ao ponto .

Passo 7

Substituímos na equação que obtivemos:
Simplificando:

Passo 8

Queremos , então dividimos ambos os lados por 2:

Resposta

O valor de é 25.

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