Considere uma função
tal que, para todo
, verifica-se a igualdade
.
a. Determine o valor de
para
.
a. Determine o valor de
Passo 1
Vamos entender o exercício. Temos uma função de duas variáveis,
, e sabemos que se substituirmos
por
e
por
, a função se transforma em
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de
em relação a
quando
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
usando as substituições dadas:
Isso significa que
agora é uma função de
, e queremos encontrar a derivada dessa função em relação a
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que diz:
Onde
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 5
Sabemos que:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Resposta
Para
: