Considere uma função tal que, para todo , verifica-se a igualdade .
a. Determine o valor de para .

Passo 1

Vamos entender o exercício. Temos uma função de duas variáveis, , e sabemos que se substituirmos por e por , a função se transforma em . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de em relação a quando . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de usando as substituições dadas:
Isso significa que agora é uma função de , e queremos encontrar a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que diz:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 5

Sabemos que:
Então, a derivada de em relação a é:

Resposta

Para :

Exercícios relacionados

Suponha que . Calcule .
Considere uma função de duas variáveis e as funções de uma variável , todas diferenciáveis tais que:
a.
b.
c. e
Nessas condições, calcule para .
Considere uma função tal que, para todo , verifica-se a igualdade .
b. Calcule o valor da expressão