Considere uma função f(x, y) tal que, para todo t em R, verifica-se a igualdade f(t^2, 2t) = 8t^7 - t^6.
a. Determine o valor de d f / d t para t = 1.

Passo 1

Vamos entender o exercício. Temos uma função de duas variáveis, , e sabemos que se substituirmos por e por , a função se transforma em . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada de em relação a quando . Para isso, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de usando as substituições dadas:
Isso significa que agora é uma função de , e queremos encontrar a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis, que diz:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 5

Sabemos que:
Então, a derivada de em relação a é:

Resposta

Para :

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