Considere uma função tal que, para todo , verifica-se a igualdade .
c. Sabendo que , em que p e q são constantes, calcule os valores de peq.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma função , onde e são constantes que precisamos descobrir. Sabemos que, para todo número real , . Para resolver isso, vamos usar substituição de variáveis e igualar os coeficientes e expoentes das potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e na função pelos valores dados: e . Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo usando as propriedades das potências:
Substituindo de volta na expressão de , temos:

Passo 4

Sabemos que . Portanto, podemos igualar as duas expressões:

Passo 5

Para que essas duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes e os expoentes das potências de devem ser iguais. Assim, temos duas equações:
  1. Para os termos com :
  1. Para os termos com :

Passo 6

Vamos resolver a segunda equação primeiro:

Passo 7

Agora, substituímos na primeira equação:
é

Resposta

Os valores são e .

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Considere uma função tal que, para todo , verifica-se a igualdade .
b. Calcule o valor da expressão
Considere uma função de duas variáveis e as funções de uma variável , todas diferenciáveis tais que:
a.
b.
c. e
Nessas condições, calcule para .
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em que e são constantes positivas.
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