a) Resolva o PVI
sendo k uma constante não nula arbitrária e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial ordinária (EDO) que é um problema de valor inicial (PVI). A equação que precisamos resolver é:
Aqui, é uma constante diferente de zero e é uma função que vale 4 quando e 0 quando . Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. O método do fator integrante é uma técnica que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 3

Vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação original por esse fator:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplesmente se torna . A integral do lado direito depende de , que tem duas partes: de a , , e para , .

Passo 5

Primeiro, consideramos :
Integrando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Aplicamos a condição inicial :
Então:

Passo 7

Agora, a solução para é:

Passo 8

Para , , então a equação fica:
A solução geral dessa equação é:

Passo 9

Precisamos garantir a continuidade da solução em . Calculamos usando a solução anterior:
Esse será nosso novo para :

Resposta

A solução do PVI é:

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é solução do PVI
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Seja dada por .
a) A função é contínua em ? Justifique.
b) Determine e verifique se é diferenciável .