a) Resolva o PVI
sendo k uma constante não nula arbitrária e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial ordinária (EDO) que é um problema de valor inicial (PVI). A equação que precisamos resolver é:
Aqui,
é uma constante diferente de zero e
é uma função que vale 4 quando
e 0 quando
. Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs de primeira ordem, especificamente o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação:
Essa é uma equação linear de primeira ordem. O método do fator integrante é uma técnica que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 3
Vamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Multiplicamos toda a equação original por esse fator:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
O lado esquerdo simplesmente se torna
. A integral do lado direito depende de
, que tem duas partes: de
a
,
, e para
,
.
Passo 5
Primeiro, consideramos
:
Integrando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
Então:
Passo 7
Agora, a solução para
é:
Passo 8
Para
,
, então a equação fica:
A solução geral dessa equação é:
Passo 9
Precisamos garantir a continuidade da solução em
. Calculamos
usando a solução anterior:
Esse será nosso novo
para
:
Resposta
A solução do PVI é:
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As equações de Ricatti, importantes para a construção de modelos para monitorar fenômenos associados a linhas de transmissão, teoria de ruídos e processos aleatórios, teoria do controle, problemas de difusão, etc., são equações da forma
Sendo conhecida uma solução particular
, a equação de Ricatti pode ser resolvida fazendo a substituição
Então
a) Substituindo
e
na equação de Ricatti acima, e usando o fato que
é solução dessa equação, verifique que a nova equação encontrada é uma equação de Bernoulli(com
) na varável
.
Considere a função erro (Erf), definida por
Esta função, também chamada de função erro de Gauss, é uma função especial (não-elementar) do tipo sigmóide que ocorre em probabilidade, estatística, e equações diferenciais parciais que descrevem algum tipo de difusão.
Verifique que a função definida por
Verifique que a função
é solução do PVI
Determinar os pontos da curva onde o raio de curvatura é menor: ciclóide
Seja
dada por
.
a) A função é contínua em
? Justifique.
b) Determine e verifique se
é diferenciável
.
a) A função
b) Determine