Considere a funçäo , definida por
Nessas condiçäes é correto afirmar que f é sobrejetora
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função f(x) = 12 sin x + sin|x2| cos |x2| definida por
E a pergunta é: será que essa função é sobrejetora? Ou seja, será que todo valor no intervalo tem pelo menos um em que faz igual a esse valor? Para resolver isso, vamos precisar entender o que é função sobrejetora e analisar a expressão da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser sobrejetora. Uma função é sobrejetora se, para todo em , existe pelo menos um em tal que . Então, precisamos ver se, para todo no intervalo , conseguimos encontrar um em que satisfaça a equação .
Passo 3
Olha só, a função sin|x2| cos |x2| é uma combinação de funções trigonométricas. Vamos simplificar um pouco para entender melhor. Primeiro, observe a parte:
12 sin(2 cdot |x2|) = 12 sin |x|
Sabemos que f(x) = 12 sin x + 12 sin |x| , então podemos reescrever essa parte como:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar as duas partes da função:
Sabemos que varia entre e , e o mesmo vale para , já que para e para . Assim, ambos os termos vão de a .
Passo 5
Vamos somar esses dois termos:
f(x) = 12 sin x + 12 sin |x|
Como ambos os termos vão de a , a soma deles vai de a . Isso significa que realmente atinge todo o intervalo .
Passo 6
Além disso, como conseguimos atingir todos os valores de a , isso significa que para cada nesse intervalo, existe pelo menos um que satisfaz . Portanto, a função é sobrejetora.