Quantos subconjuntos com tamanho 3 do conjunto 1,2,3, ldots, 14,15 contém o elemento 3 ou o elemento 7 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de combinatória! A questão pede para encontrar quantos subconjuntos de tamanho 3 podemos formar a partir do conjunto 1, 2, 3, ldots, 14, 15 que contenham o elemento 3 ou o elemento 7. Para isso, vamos precisar usar o conceito de combinação, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de subconjuntos de tamanho 3 que podem ser formados a partir dos 15 elementos. Isso é dado pela combinação de 15 elementos tomados 3 a 3, representada por:
C(15, 3) = 15!3!(15-3)!
Mas como estamos interessados apenas nos subconjuntos que contêm o 3 ou o 7, precisamos ajustar esse total.

Passo 3

Vamos calcular separadamente as combinações que contêm o elemento 3 e as que contêm o elemento 7.
Primeiro, para os subconjuntos que contêm o 3: se já incluímos o 3, precisamos escolher mais 2 elementos dos restantes 14. Isso é:
C(14, 2) = 14!2!(14-2)!

Passo 4

Da mesma forma, para os subconjuntos que contêm o 7: já incluímos o 7, então precisamos escolher mais 2 elementos dos restantes 14. Isso também é:
C(14, 2) = 14!2!(14-2)!

Passo 5

No entanto, ao somar as duas quantidades acima, estamos contando duas vezes os subconjuntos que contêm ambos os elementos 3 e 7. Para evitar essa contagem dupla, precisamos subtrair os subconjuntos que contêm tanto o 3 quanto o 7.
Para esses subconjuntos, já temos o 3 e o 7, então precisamos escolher apenas mais 1 elemento dos restantes 13:
C(13, 1) = 13!1!(13-1)!

Passo 6

Agora, juntando tudo: a quantidade total desejada é a soma das combinações que contêm o 3 e as que contêm o 7, menos as que contêm ambos. Assim:
C(14, 2) + C(14, 2) - C(13, 1)

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
C(14, 2) = 14 times 132 times 1 = 91
C(14, 2) = 91
C(13, 1) = 13
Então:
91 + 91 - 13 = 169

Resposta

Existem 169 subconjuntos de tamanho 3 que contêm o elemento 3 ou o elemento 7.

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