Quantos subconjuntos com tamanho 3 do conjunto contém o elemento 3 ou o elemento 7 ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de combinatória! A questão pede para encontrar quantos subconjuntos de tamanho 3 podemos formar a partir do conjunto que contenham o elemento 3 ou o elemento 7. Para isso, vamos precisar usar o conceito de combinação, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto sem se importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de subconjuntos de tamanho 3 que podem ser formados a partir dos 15 elementos. Isso é dado pela combinação de 15 elementos tomados 3 a 3, representada por:
Mas como estamos interessados apenas nos subconjuntos que contêm o 3 ou o 7, precisamos ajustar esse total.
Passo 3
Vamos calcular separadamente as combinações que contêm o elemento 3 e as que contêm o elemento 7.
Primeiro, para os subconjuntos que contêm o 3: se já incluímos o 3, precisamos escolher mais 2 elementos dos restantes 14. Isso é:
Passo 4
Da mesma forma, para os subconjuntos que contêm o 7: já incluímos o 7, então precisamos escolher mais 2 elementos dos restantes 14. Isso também é:
Passo 5
No entanto, ao somar as duas quantidades acima, estamos contando duas vezes os subconjuntos que contêm ambos os elementos 3 e 7. Para evitar essa contagem dupla, precisamos subtrair os subconjuntos que contêm tanto o 3 quanto o 7.
Para esses subconjuntos, já temos o 3 e o 7, então precisamos escolher apenas mais 1 elemento dos restantes 13:
Passo 6
Agora, juntando tudo: a quantidade total desejada é a soma das combinações que contêm o 3 e as que contêm o 7, menos as que contêm ambos. Assim:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
Então:
Resposta
Existem 169 subconjuntos de tamanho 3 que contêm o elemento 3 ou o elemento 7.