Nos itens abaixo W não é um subespaço do espaço vetorial euclidiano. Verifique isso dando um exemplo específico que viole o teste para o subespaço vetorial: Wé o conjunto de todos os vetores em R^3 cuja terceira componente é -1.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um conjunto W que é formado por todos os vetores em cuja terceira componente é -1. A questão é mostrar que W não é um subespaço do espaço vetorial euclidiano . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os testes que um conjunto precisa passar para ser considerado como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Se W falhar em qualquer uma dessas condições, então W não é um subespaço.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se W contém o vetor zero. O vetor zero em é . Mas, de acordo com a definição de W, a terceira componente deve ser -1. Então, no caso do vetor zero, a terceira componente é 0, não -1. Isso já mostra que W não contém o vetor zero.

Passo 4

Como W não contém o vetor zero, ele já não pode ser um subespaço. Mas, para reforçar, vamos dar um exemplo específico que viola uma das condições de subespaço.

Passo 5

Vamos considerar dois vetores em W:
u = (1, 2, -1)
v = (3, 4, -1)
Se W fosse um subespaço, a soma desses vetores também deveria estar em W.

Passo 6

Vamos somar u + v = (1+3, 2+4, -1 + (-1)) = (4, 6, -2) e :
A terceira componente do vetor resultante é -2, que não é igual a -1. Portanto, a soma não está em W, o que viola a segunda condição de subespaço.

Resposta

Assim, pelo menos uma das condições necessárias para W ser um subespaço não é satisfeita. Portanto, W não é um subespaço de .

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