Considere a função
dada por
. Pede-se: Analise a concavidade da curva
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos a função
e precisamos verificar a concavidade da sua curva
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da curva em relação à sua concavidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada de
, que nos dará a inclinação da curva em cada ponto. A derivada de uma função nos mostra a taxa de variação dessa função em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar
. Reescrevendo a função, temos:
Aplicando a regra do poder para derivadas:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
, que nos ajudará a determinar a concavidade da curva. A segunda derivada nos indica se a curva está “abrindo para cima” (concava para cima) ou “abrindo para baixo” (concava para baixo).
Derivando
:
Aplicando novamente a regra do poder:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo para
(pois estamos tomando a raiz quadrada e uma potência ímpar de um número positivo). O numerador
também é positivo. Portanto,
para todo
.
Quando a segunda derivada é positiva, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Resposta
A curva
é côncava para cima em todo o seu domínio
.
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dada por
. Pede-se: Determine a interseção da curva
com os eixos
e
.
(EXTRA) Calcule o seguinte limite:
Calcule a derivada das seguintes funções: