Considere a função f dada por f(x) = 1 / raiz(x + 1). Pede-se: Analise a concavidade da curva y = f(x).

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos a função e precisamos verificar a concavidade da sua curva . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda, que nos ajudam a entender o comportamento da curva em relação à sua concavidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a primeira derivada de , que nos dará a inclinação da curva em cada ponto. A derivada de uma função nos mostra a taxa de variação dessa função em relação a .

Passo 3

Vamos derivar . Reescrevendo a função, temos:
Aplicando a regra do poder para derivadas:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada , que nos ajudará a determinar a concavidade da curva. A segunda derivada nos indica se a curva está “abrindo para cima” (concava para cima) ou “abrindo para baixo” (concava para baixo).
Derivando :
Aplicando novamente a regra do poder:
Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de :
O denominador é sempre positivo para (pois estamos tomando a raiz quadrada e uma potência ímpar de um número positivo). O numerador também é positivo. Portanto, para todo .
Quando a segunda derivada é positiva, a função é côncava para cima nesse intervalo.

Resposta

A curva é côncava para cima em todo o seu domínio .

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