Considere a função
dada por
. Pede-se: Determine, caso existam, os máximos e mínimos locais de
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que analisar a função
e descobrir se ela tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada no denominador, o que está dentro da raiz tem que ser positivo e diferente de zero para evitar divisão por zero.
Passo 3
Então, vamos resolver a inequação
:
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 4
Agora, para encontrar os máximos e mínimos locais, precisamos calcular a derivada de
e ver onde ela é zero ou não está definida. A derivada vai nos mostrar onde a função tem pontos de inclinação nula, que são potenciais candidatos a máximos ou mínimos.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
:
Usando a regra de derivação:
Passo 6
Agora, vamos analisar onde
:
No entanto, a fração só será zero se o numerador for zero. Mas o numerador é
, que nunca é zero. Portanto, a derivada nunca é zero.
Passo 7
Como a derivada nunca é zero e está sempre negativa para todo
, isso significa que a função é sempre decrescente no seu domínio. Não há pontos onde a função atinge um pico (máximo) ou um vale (mínimo).
Resposta
A função
não possui máximos ou mínimos locais.