Considere a função f dada por f(x) = 1 / raiz(x + 1). Pede-se: Determine, caso existam, os máximos e mínimos locais de f.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que analisar a função e descobrir se ela tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada no denominador, o que está dentro da raiz tem que ser positivo e diferente de zero para evitar divisão por zero.

Passo 3

Então, vamos resolver a inequação :
Portanto, o domínio de é .

Passo 4

Agora, para encontrar os máximos e mínimos locais, precisamos calcular a derivada de e ver onde ela é zero ou não está definida. A derivada vai nos mostrar onde a função tem pontos de inclinação nula, que são potenciais candidatos a máximos ou mínimos.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Usando a regra de derivação:

Passo 6

Agora, vamos analisar onde :
No entanto, a fração só será zero se o numerador for zero. Mas o numerador é , que nunca é zero. Portanto, a derivada nunca é zero.

Passo 7

Como a derivada nunca é zero e está sempre negativa para todo , isso significa que a função é sempre decrescente no seu domínio. Não há pontos onde a função atinge um pico (máximo) ou um vale (mínimo).

Resposta

A função não possui máximos ou mínimos locais.

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