Considere a função dada por . Pede-se: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos determinar os intervalos onde essa função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta, ou seja, se está aumentando ou diminuindo em certos intervalos.
A função dada é , que podemos reescrever como .
Usando a regra de potência para derivar, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da derivada . O sinal da derivada nos indica se a função está aumentando ou diminuindo:
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Observando a derivada:
Como é sempre positivo para (já que estamos levantando um número positivo a uma potência), multiplicando por -1/2 resulta sempre em um valor negativo.

Passo 4

Como a derivada é sempre negativa para todo , isso significa que a função está sempre decrescente nesse intervalo.

Resposta

A função é decrescente para todo .

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