Considere a função
dada por
. Pede-se: Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função
. Para fazer isso, vamos utilizar conceitos de funções, domínio, intervalos de crescimento ou decrescimento, e conhecimento sobre raízes quadradas. Precisaremos identificar pontos chave da função, determinar seu domínio e analisar seu comportamento para desenhar um esboço preciso do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. A função envolve uma raiz quadrada no denominador, então o que está dentro da raiz deve ser maior que zero para evitar números imaginários e divisão por zero. Portanto, temos:
Então, o domínio da função é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular alguns pontos chave para ajudar a esboçar o gráfico. Escolheremos valores de
dentro do domínio e encontraremos os correspondentes valores de
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos nos mostram que à medida que
aumenta, o valor de
diminui.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio:
- Quando
se aproxima de pela direita ( ):
Isso indica que há uma assíntota vertical em
.
- Quando
tende ao infinito ( ):
Isso sugere que o gráfico se aproxima do eixo
conforme
aumenta.
Passo 5
Vamos considerar o comportamento geral da função:
- A função é decrescente no domínio
, já que, conforme aumenta, diminui. - Não há intercepto com o eixo
além do ponto que já calculamos. - O gráfico não intercepta o eixo
, pois nunca é zero.
Resposta
O gráfico da função
está definido para todos os valores de
maiores que
. Ele possui uma assíntota vertical em
e se aproxima do eixo
conforme
aumenta. A função é decrescente no seu domínio, passando pelos pontos
,
e
. O esboço do gráfico terá uma curva que começa em
com valores de
tendendo ao infinito e desce suavemente em direção ao eixo
à medida que
cresce.
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.
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não é nem par e nem ímpar.
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.
Se
, encontre os seguintes limites: