Considere a função dada por . Pede-se: Esboce o gráfico de .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos utilizar conceitos de funções, domínio, intervalos de crescimento ou decrescimento, e conhecimento sobre raízes quadradas. Precisaremos identificar pontos chave da função, determinar seu domínio e analisar seu comportamento para desenhar um esboço preciso do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está definida. A função envolve uma raiz quadrada no denominador, então o que está dentro da raiz deve ser maior que zero para evitar números imaginários e divisão por zero. Portanto, temos:
Então, o domínio da função é .

Passo 3

Agora, vamos calcular alguns pontos chave para ajudar a esboçar o gráfico. Escolheremos valores de dentro do domínio e encontraremos os correspondentes valores de .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Esses pontos nos mostram que à medida que aumenta, o valor de diminui.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função nos extremos do domínio:
  • Quando se aproxima de pela direita ( ):
Isso indica que há uma assíntota vertical em .
  • Quando tende ao infinito ( ):
Isso sugere que o gráfico se aproxima do eixo conforme aumenta.

Passo 5

Vamos considerar o comportamento geral da função:
  • A função é decrescente no domínio , já que, conforme aumenta, diminui.
  • Não há intercepto com o eixo além do ponto que já calculamos.
  • O gráfico não intercepta o eixo , pois nunca é zero.

Resposta

O gráfico da função está definido para todos os valores de maiores que . Ele possui uma assíntota vertical em e se aproxima do eixo conforme aumenta. A função é decrescente no seu domínio, passando pelos pontos , e . O esboço do gráfico terá uma curva que começa em com valores de tendendo ao infinito e desce suavemente em direção ao eixo à medida que cresce.

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