Determine uma série para em potências de .

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma série para em potências de . Isso significa que queremos expressar como uma soma infinita envolvendo . Vamos usar conhecimentos de séries de Taylor para resolver isso, que nos permite expandir funções em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em . No nosso caso, e queremos expandir em torno de , então .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Então, avaliando em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:

Passo 5

Podemos fatorar da soma, já que é constante em relação a :

Resposta

A série para em potências de é:

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Usando o Teorema do Valor Intermediário, prove que a equação abaixo admite solução no intervalo :
Considere a função dada por
Determine o domínio e encontre todas as assíntotas verticais e horizontais. Faça o estudo do sinal dessa função, isto é, diga quais são os intervalos onde ela é positiva e negativa.
, onde
onde o momento de massa e é a distância do ponto ao eixo. Além disso o centro de massa é definido por
com a massa total de . Com estas informações, determine:
a) O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa , de equação , em torno do eixo .