Determine uma série para
em potências de
.
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar uma série para
em potências de
. Isso significa que queremos expressar
como uma soma infinita envolvendo
. Vamos usar conhecimentos de séries de Taylor para resolver isso, que nos permite expandir funções em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
Aqui,
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. No nosso caso,
e queremos expandir em torno de
, então
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Então, avaliando em
:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:
Passo 5
Podemos fatorar
da soma, já que é constante em relação a
:
Resposta
A série para
em potências de
é: