Determine uma série para e^(2 x) em potências de x + 1.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma série para em potências de . Isso significa que queremos expressar como uma soma infinita envolvendo . Vamos usar conhecimentos de séries de Taylor para resolver isso, que nos permite expandir funções em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em . No nosso caso, e queremos expandir em torno de , então .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Então, avaliando em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Taylor:

Passo 5

Podemos fatorar da soma, já que é constante em relação a :

Resposta

A série para em potências de é:

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